Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;b)$ получается пара $(3a+b;3b-a)$. а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;5)$? б) Верно ли, что если пара $(c;d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d;c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;b)$ и $(c;d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9;2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Текстовый конспект решения

1. а) Пусть пара (5;5) получена из пары (a;b). Тогда имеем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. Поэтому пару (5;5) можно получить из пары (1;2) за одну операцию.
3. б) Пусть пара (c;d) получена из некоторой пары (a;b). Тогда
4. В случае, если предполагается, что эта пара (− d;c) может получиться из некоторой пары целых чисел (m;n), то верна следующая система. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
5. Тогда пара (c;d) получена следующим образом. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
6. При этом пара (−d;c) получена следующим образом. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. в) Пусть пара, расстояние до которой нужно минимизировать, получена из пары (m;n). Тогда нужно найти наименьшее из расстояний между парами (9;2) и (3m + n;3n− m ), которые будут иметь вид. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Заметим, что числа 3m + n и 3n − m имеют одну четность. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Числа 3m + n и 3n− m имеют одинаковую чётность, а числа 9 и 2 – разную. Поэтому 9− (3m + n) и 2− (3n − m ) имеют разную чётность, а значит, и модули |9− 3m − n | и |2− 3n + m| имеют разную чётность. Сумма двух чисел разной чётности нечётна, поэтому расстояние между (9;2) и (3m + n;3n − m ) нечётно, то есть не меньше 1.
10. Предположим, что минимальное расстояние равно 1, тогда
11. Решим первую систему: { |9− 3m − n|=0 |2− 3n+ m |=1 Из первого уравнения получаем, что |9− 3m − n|= 0 9− 3m − n= 0 n= 9− 3m Тогда |2− 3n +m |= 1 |2 − 3(9− 3m)+ m |= 1 |2− 27+ 9m + m|= 1 |10m − 25|= 1 Заметим, что |10m − 25| делится на 5, а 1 — нет. Значит, первая система уравнений не имеет решений.
12. Решим первую систему. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Из первого уравнения получаем, что
14. Тогда
15. Заметим, что |10m − 25| делится на 5, а 1 — нет. Значит, первая система уравнений не имеет решений.
16. Решим вторую систему: {|9− 3m − n|=1 |2− 3n+ m |=0 Из второго уравнения получаем, что |2− 3n +m |= 0 2− 3n +m = 0 m = 3n− 2 Тогда |9− 3m − n|= 1 |9− 3(3n − 2)− n|= 1 |9− 9n+ 6− n|= 1 |15− 10n|= 1 Заметим, что |15− 10n| делится на 5, а 1 — нет. Значит, вторая система уравнений тоже не имеет решений.
17. Решим вторую систему. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
18. Из второго уравнения получаем, что
19. Тогда
20. Заметим, что |15− 10n| делится на 5, а 1 — нет. Значит, вторая система уравнений тоже не имеет решений.
21. Таким образом, расстояние 1 между парами (9;2) и (3m +n;3n− m ) недостижимо.
22. Для следующего нечётного числа в качестве расстояния есть пример. Если m = 3, n= 1, то (3m + n;3n− m )= (10;0). Тогда расстояние между парой (9;2) и парой (10;0), полученной из пары (3;1), будет равно

Ответ: а) Да, можно б) Да, верно в) 3