С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

Текстовый конспект решения

1. a) Сумма цифр числа 918 равна 18. Следовательно, в результате операции из этого числа получится
2. Ответ: да, может.
3. б) Пусть число равно 100a +10b+ c, где a,b и c — цифры и a ≠0. Тогда сумма цифр такого числа равна a + b+c, а в результате операции из него получится число
4. Получившееся число делится на 3. Следовательно, число 151 не могло получиться, так как оно на 3 не делится.
5. Ответ: нет, не может.
6. в) Заметим, что получившееся число не зависит от последней цифры исходного числа, поэтому достаточно найти количество различных чисел, получающихся из чисел, делящихся на 10. Рассмотрим числа
7. где a,b,x и y — цифры и a≠ 0, x ≠ 0. В результате операции из них получатся числа
8. Разность этих чисел равна
9. Если a ≠ x, то эта разность не может быть равной нулю, поскольку |3(b− y)|≤27 < |33(a − x)|.
10. Если a = x, то разность может быть равной нулю только при b= y, то есть если исходные числа совпадают.
11. Значит, в результате операции из различных трёхзначных чисел, делящихся на 10, получаются различные числа.
12. Среди чисел от 100 до 600 ровно 51 число делится на 10. Следовательно, в результате операции из чисел от 100 до 600 может получиться 51 различное число.

Ответ: а) Да б) Нет в) 51