Из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ $-$ натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a+b}{2a+b}$. а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{1}{3}$ получить дробь $\frac{22}{31}$? б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{7}{12}$? в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Текстовый конспект решения

1. а) Да, можно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. б) Предположим, что это можно сделать. Если изначально была дробь a b, то спустя два хода дробь стала. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
3. Заметим, что при данных действиях несократимая дробь остается несократимой, так как по алгоритму Евклида
4. Значит, если дробь стала равна -7, 12 то это в точности дробь 7-. 12 Тогда 3a+ 2b= 7, 4a +3b= 12. Из этих уравнений можно получить, что a+ b= 5, тогда 3a+ 2b= a +2 ⋅(a+ b)= a+ 10= 7. То есть a= −3, но a и b должны быть натуральными. Получим противоречие. Значит, дробь 712- через 2 хода получиться не могла.
5. в) Из пункта б) известно, что если была дробь a, b то спустя два хода дробь станет равна 3a +2b 4a-+3b. Тогда
6. Выразим a через c и d . Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Заметим, что a > 0. Тогда
8. Выразим b через c и d . Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Заметим, что b >0. Тогда
10. Изначальная дробь a b должна быть правильной, поэтому
11. Тогда
12. Значит, если a b — правильная дробь, то значение c 5 d = 7 получить нельзя.
13. Докажем, что все остальные значения от -7 10 до $\frac{5}{7}$ можно получить из правильной несократимой дроби. Понятно, что по дроби, которую мы хотим получить за два хода, можно восстановить начальную, так как a = 3c− 2d, b= 3d − 4c.
14. Осталось проверить, что такая дробь a b правильная и несократимая. Она правильная, так как мы накладывали условия a< b, a> 0 и b> 0 ранее. Тогда осталось проверить то, что она несократима. Дробь a b мы будем восстанавливать по несократимой дроби c d, поэтому Н ОД (c;d)= 1.
15. Тогда по алгоритму Евклида
16. Значит, если c d — несократимая, то и a b — несократимая.
17. Таким образом, наименьшее значение, которое нельзя получить из правильной несократимой дроби за 2 хода, равно 5. 7

Ответ: а) Да, можно б) Нет, нельзя в) $\frac{5}{7}$