Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски
длиной 1 см? б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски
длиной 1 см? в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Текстовый конспект решения

1. а) Да, можно за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см.
2. Первым ходом разделим линейку на две части по 8 см.
3. Вторым ходом отрежем от обеих частей по 4 см и получим четыре части по 4 см.
4. Третим ходом отрежем от всех частей по 2 см и получим восемь частей по 2 см.
5. Четвертым ходом отрежем от всех частей по 1 см и получим требуемое.
6. б) Пусть в какой-то момент есть x частей линейки. Тогда после следующего действия будет не более 2x частей. Таким образом, за ход максимум можно удвоить количество частей. Значит, за 5 ходов будет не более 25 = 32 частей. Но если линейка длиной в 100 см поделена на части по 1 см, то должно быть 100 частей.
7. Значит, нельзя за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см.
8. в) Из пункта б) мы понимаем, что нужно хотя бы 8 действий, так как 7 200> 2 = 128.
9. Приведем пример на 8 действий.
10. Первым действием отрежем часть длиной в 72 см и получим две части: 128 см и 72 см.
11. Вторым действием отрежем от частей в 128 см и 72 см часть длиной в 64 см и получим четыре части: три по 64 см и одну 8 см.
12. Третим действием отрежем от частей в 64 см часть длиной в 32 см и получим семь частей: шесть по 32 см и одну 8 см.
13. Четвертым действием отрежем от частей в 32 см часть длиной в 16 см и получим 13 частей: двенадцать по 16 см и одну 8 см.
14. Пятым действием отрежем от частей в 16 см часть длиной в 8 см и получим 25 частей: 25 частей по 8.
15. Шестым, седьмым и восьмым действиями поделим все части пополам и в итоге получим 200 частей по 1 см.

Ответ: а) Да б) Нет в) 8