На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр). а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107? б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289? в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

Текстовый конспект решения

1. а) Если сумма равна 107, то возможные по условию задачи слагаемые не могут быть больше 99, то есть варианты следующие. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. Теперь нужно попробовать составить пример из приведенных выше вариантов, причем использовать каждое число можно максимум один раз. Методом проб и ошибок находим один из примеров
3. Значит, сумму 107 получить можно.
4. б) Если сумма равна 289, то варианты слагаемых следующие. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
5. При этом использование бОльших чисел даст сумму больше нужной.
6. Заметим, что если участвуют все числа из списка, то сумма получится больше чем 289. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Так как 299− 289= 10, то нужно убрать слагаемые, которые в сумме дают 10. Но сумма даже двух самых маленьких чисел 4 +9 = 13> 10, а если брать больше слагаемых, сумма будет ещё больше. Значит, убрать числа так, чтобы их сумма равнялась 10, невозможно. Следовательно, сумму 289 получить нельзя.
8. в) Если сумма равна 3986, то варианты слагаемых следующие. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. При этом использование бОльших чисел даст сумму больше нужной.
10. Заметим, что все числа на доске имеют остаток 4 при делении на 5. Значит, остаток при делении на 5 суммы всех чисел на доске равен остатку числа 4m при делении на 5, где m — количество чисел на доске. Число 3986 дает остаток 1 при делении на 5. Тогда количество слагаемых должно иметь вид m = 5n+ 4, где n ≥ 0, так как m – неотрицательное число. Заметим, что только при таком m число 4m дает остаток 1 при делении на 5.
11. Четырёх слагаемых недостаточно, так как наибольшая возможная сумма четырёх чисел равна
12. А вот 9 слагаемых уже добиться возможно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Значит, наименьшее количество чисел на доске равно 9.

Ответ: а) Да б) Нет в) 9