Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны? в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Текстовый конспект решения

1. а) Если в первой группе 3 камня по 7 тонн и 4 камня по 22 тонны, то масса группы будет равна 3 ⋅7+ 4⋅22= 109 тонн. Тогда во второй группе 1 камень весом в 7 тонн и 5 камней по 22 тонн, то есть ее масса равна 7+ 5⋅22= 117 тонн. Тогда их разность равна 117− 109= 8 тонн.
2. б) Суммарная масса камней равна
3. Значит, если массы групп равны, то они равны 113 тоннам.
4. Пусть в первой группе a камней по 7 тонн и b камней по 22 тонны.
5. Следовательно, масса первой группы равна 7a+ 22b= 113 тонн. Тогда a — нечетное. Значит, либо a = 1, либо a =3.
6. Если a = 1, то тогда 22b= 106. Такое невозможно, так как 106 не делится на 22.
7. Если a= 3, то тогда 22b = 92. Такое невозможно, так как 92 не делится на 22.
8. Значит, набрать группу, которая весит 113 тонн, нельзя.
9. в) Всего есть 9 камней по 22 тонны. Значит, в одной из групп точно есть хотя бы 5 таких камней.
10. Если в ней ровно 5 камней по 22 тонны, а других камней нет, то масса это группы равна 110 тоннам, а масс второй группы — 116 тоннам. Тогда разность сумм масс групп равна 116 − 110= 6 тонн.
11. Если в ней есть хотя бы 6 камней по 22 тонны, то ее масса не менее 132 тонн, а масс второй группы — не более 4⋅7+ 3⋅22= 94 тонн. Тогда разность между ними не менее 132 − 94 = 38 тонн.
12. Значит, если разность минимальная, то в одной группе 5 камней по 22 тонны, а во второй — 4 камня по 22 тонны.
13. Если в группе, где 5 камней по 22 тонны, будут хотя бы 2 камня по 7 тонн, то масса этой группы будет не менее 124 тонн. Тогда масса второй группы не более 102 тонн. Значит, разность между ними не менее 124− 102 = 22 тонн.
14. Случай, когда в группе только 5 камней по 22 тонны, мы разобрали выше, значит, остался случай, когда в этой группе 5 камней по 22 тонны и 1 камень в 7 тонн. Он разобран в пункте а), в нем разность равна 8 тоннам.
15. Таким образом, минимальная разность равна 6 тоннам. Достигается она в случае, если в первой группе 4 камня по 7 тонн и 4 камня по 22 тонн, тогда масса группы будет равна 116 тонн. Тогда во второй группе 5 камней по 22 тонн, а ее масса равна 110 тонн. Тогда их разность равна 116− 110= 6 тонн.

Ответ: а) Да, можно б) Нет, нельзя в) 6 тонн