В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Текстовый конспект решения

1. a) Если в порту всего 2 контейнера массой 20 тонн и 6 контейнеров массой 60 тонн, причём только 1 контейнер массой 20 тонн и 5 контейнеров массой 60 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет (1 +5) :(2+ 6)⋅100% = 75% от общего количества контейнеров.
2. Масса контейнеров с сахарным песком равна 1⋅20+ 5⋅60 =320 тонн, масса всех контейнеров равна 2⋅20+ 6⋅60= 400 тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет 320:400⋅100% = 80% от общей массы всех контейнеров.
3. б) Предположим, что в порту было x контейнеров массой 20 тонн и y контейнеров массой 60 тонн, среди которых с сахарным песком было a контейнеров массой 20 тонн и b контейнеров массой 60 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
4. Из равенства − 12a+ 28b= −16x получаем x +3(x− a)+ 7b= 0. Поскольку x ≥ a≥ 0 и y ≥b ≥ 0, то это равенство выполняется только при a = x= 0= b.
5. Тогда из первого уравнения системы следует, что и y = 0, что невозможно.
6. Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 40% от общей массы контейнеров.
7. в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наибольшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 60 тонн. Тогда a =0, значит, 4b= 3x+ 3y. Нам нужно найти наибольшее значение величины
8. Наибольшее значение дроби достигается при наименьшей величине знаменателя. Мы знаем, что y ≥ b, поэтому
9. Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не более 90% от общей массы контейнеров.
10. Пусть в порту b= 3 контейнера массой в 60 тонн, которые заполнены сахарным песком, и
11. контейнер массой в 20 тонн, который заполнен не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет
12. от общей массы всех контейнеров.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 90%