На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы $-$ цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз? в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Текстовый конспект решения

1. а) Пусть число в первой группе равно 1, число во второй группе равно 2, число в третьей группе равно 9. Сумма чисел до изменений равна 1+ 2+ 9 =12. После изменений на доске оказались числа 11, 28 и 9. Их сумма равна 11+ 28+ 9= 48 =4 ⋅12.
2. б) Пусть сумма всех чисел в первой группе до изменений равна A, а количество чисел равно m, сумма всех чисел во второй группе до изменений — B, а количество n, сумма всех чисел в третьей группе — C. Если к числу a приписать справа цифру t , то оно станет равным 10a+ t. Тогда после изменений сумма всех чисел в первой группе стала 10A +m, так как единица прибавилась столько раз, сколько была приписана единица справа, то есть m раз. Аналогично сумма чисел во второй группе стала 10B + 8n, в третьей группе осталась C. Тогда
3. Сумма чисел не меньше, чем их количество, поэтому 8A ≥ 8m, 8B ≥ 8n. Так как C ≥1, то 8A +8B + 17C ≥ 8m + 8n+ 17> m + 8n. Значит, такое невозможно.
4. в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы к изначальной. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
5. По условию Q = 11. Мы хотим понять, при каком наибольшим количестве чисел это возможно. Для этого выясним, при каком количестве чисел Q вообще может быть не меньше 11. Если для некоторого количества чисел даже максимально возможное Q окажется меньше 11, то при таком количестве чисел условие Q = 11 невыполнимо.
6. Будем максимизировать Q, то есть максимизировать значение дроби m-+8n-− 9C-. A + B +C Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма всех чисел, то есть A+ B + C от этого не изменится. В первой группе станет m − 1 число, во второй n+ 1, а дробь станет равной
7. Таким образом, значение Q увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение Q. Значит, если Q — максимальное, то в первой группе одно число.
8. Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма всех чисел A + B + C останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна C1. Тогда C1 −9C. 1 Количество чисел во второй группе станет n+ 1, а значит, новое значение дроби будет
9. Таким образом, если Q максимально, то в третьей группе тоже одно число. Тогда в первой и в третьей группах по 1 числу, во второй группе k чисел ( k — новое значение количества чисел во второй группе, после того, как числа из первой и третьей групп были перенесены во вторую), всего k+ 2 числа.
10. Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а, значит, больше значение Q. Значит, нужно минимизировать значение A +B + C — сумму k+ 2 различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых k+ 2 натуральных чисел. Значит, (k-+2)(k+3) A + B +C ≥ 1+ 2+ ...+(k+ 1)+ (k + 2) = 2 .
11. Так как C ≥ 1, то
12. Пусть f(k)= (k+k−2)(1k+3). Найдём, при каком значении k функция f(k) принимает наибольшее значение. Так как k — количество чисел, то будем рассматривать f (k) только при натуральных k. Рассмотрим разность
13. Значит, f(k +1)− f(k)> 0 при k ≤3, f(k +1)− f(k)= 0 при k = 4, f(k+ 1)− f(k)< 0 при k ≥ 5.
14. Значит, f(k) возрастает до k = 4, затем f(4) =f(5), а при k ≥ 5 убывает. Следовательно, наибольшее значение f(k) достигается при k = 4 и k = 5, а значит, и Q максимально при k =4 или k = 5.
15. Найдём значение Q при k =8, k = 9. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
16. При k ≥ 5 функция убывает, значит, если k ≥ 9, то Q < 11. По условию Q = 11, значит, k ≤ 8, а всего чисел не больше, чем 8+ 2= 10. Приведём пример, когда всего 10 чисел. Пусть в первой группе было написано число 2, в третьей группе число 1, а во второй числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Тогда изначально сумма всех чисел была. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
17. После изменений числа стали: в первой группе 21, во второй группе 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 118, в третьей группе осталось число 1. Новая сумма равна

Ответ: а) Да б) Нет в) 10