На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными. а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел? б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Текстовый конспект решения

1. По условию после обеих операций все числа оказались двузначными натуральными. Это означает, что перехода через разряд не происходит.
2. То есть в первом случае, когда цифра в разряде десятков увеличивается на 2, число увеличивается на 20, а когда цифра в разряде единиц уменьшается на 5, число уменьшается на 5. Таким образом, после первой операции число увеличивается на 15. При этом такую операцию можно применять только к тем двузначным числам, первая цифра которых от 1 включительно до 7 включительно, а вторая – от 5 включительно до 9 включительно.
3. Аналогично во втором случае, когда цифра в разряде десятков уменьшается на 2, число уменьшается на 20, а когда цифра в разряде единиц увеличивается на 2, число увеличивается на 2. Таким образом, после второй операции число уменьшается на 18. При этом такую операцию можно применять только к тем двузначным числам, первая цифра которых от 3 включительно до 9 включительно, а вторая – от 0 включительно до 7 включительно.
4. а) Пусть x – количество чисел, с которыми произвели первую операцию, y – количество чисел, с которыми произвели вторую операцию.
5. Тогда сумма чисел изменилась на. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
6. По условию эта разность равна 128. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Заметим, что левая часть равенства делится на 3, а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет целых решений. Таким образом, сумма исходных чисел не могла оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел.
8. б) Так как всего на доске было 25 чисел, то y = 25 − x. Тогда сумма чисел изменилась на. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Так как сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, то. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
10. Заметим, что левая часть равенства делится на 11, а правая нет, следовательно, уравнение не имеет целых решений. Таким образом, количество чисел на доске не может равняться 25 при равенстве исходной и итоговой сумм.
11. в) Так как сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, то. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
12. Так как левая часть равенства кратна 5, то и правая часть кратна 5, то есть y кратно 5. Так как правая часть кратна 6, то и левая часть кратна 6, то есть x кратно 6.
13. Пусть x = 6k, y = 5k, где k – натуральное число. Тогда общее количество чисел равно 6k + 5k = 11k.
14. Заметим, что наименьшее число, с которым могли произвести первую операцию, – это 15, а наименьшее число, с которым могли произвести вторую операцию, – это 30.
15. Так как это наименьшие возможные значения исходных чисел, то наименьшее значение исходной суммы равно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
16. По условию, данная сумма меньше 1198. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
17. Наибольшее целое k = 4. Тогда наибольшее общее количество чисел может быть равно
18. Приведем пример на 44 числа. Пусть изначально было двадцать четыре числа, равных 15, и двадцать чисел, равных 30. Тогда сумма исходных чисел равна
19. Пусть ко всем числам, равным 15, применили первую операцию и получили числа, равные 30. А ко всем числам, равным 30, применили вторую операцию, и получили числа, равные 12. Тогда сумма полученных чисел равна
20. В таком случае все условия соблюдены.

Ответ: а) нет б) нет в) 44