На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Текстовый конспект решения

1. а) Пусть на столе лежат 5 красных карточек с числами −6,− 4,− 2,0,2 и одна синяя с числом 5.
2. Тогда все числа на красных карточках чётные, а число, написанное на синей карточке, делится на 5.
3. Наибольшее число, написанное на красной карточке, равно 2. Этому же значению равно удвоенное количество синих карточек. Наибольшее число, написанное на синей карточке, равно 5. Этому же значению равно количество красных карточек.
4. Общее количество карт равно 5+ 1= 6. Таким образом, все условия выполнены.
5. б) Пусть s – количество синих карт, k – количество красных карт. По условию k = s+ 90.
6. Самое большое число на красной карте равно 2s, и оно действительно чётное. Самое большое число на синей карте равно k = s+ 90, оно должно делиться на 5.
7. Числа на красных картах чётные, различны, больше − 120, наибольшее равно 2s. Наименьшее чётное число, большее − 120, – это −118. Количество различных чётных чисел в промежутке от − 118 до 2s равно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Таких чисел не может быть меньше k = s+ 90. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Противоречие. Следовательно, такое невозможно.
10. в) Пусть s – количество синих карт, k – количество красных карт. Общее количество карт равно s +k.
11. Самое большое число на красной карте равно 2s, оно чётное. Самое большое число на синей карте равно k, оно должно делиться на 5.
12. Числа на красных картах чётные, различны, больше − 120, наибольшее равно 2s. Наименьшее чётное число, большее − 120, – это −118. Количество различных чётных чисел в промежутке от − 118 до 2s равно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Таких чисел не может быть меньше k . Формула и подстановка показаны на изображении решения.
14. Числа на синих картах кратны 5, различны, больше − 120, наибольшее равно k. Наименьшее кратное 5 число, большее − 120, – это −115. Количество различных чисел, кратных 5, в промежутке от −115 до k равно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
15. Таких чисел не может быть меньше s. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
16. Из двух ограничений получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
17. Понимаем, что чем больше s, тем больше может быть k, а следовательно, и общее количество карточек.
18. Пусть s =45. Тогда наибольшее число на красной карте равно 2 ⋅45 = 90.
19. Из неравенства 5s− 120≤ k ≤ s+ 60 при s= 45 получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
20. Значит, k = 105.
21. Составим набор карт. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
22. Синие карты (45 штук). Числа кратны 5, различны, больше −120, наибольшее равно 105. Наименьшее кратное 5 число, большее − 120, – это −115. Количество чисел, кратных 5, в промежутке от −115 до 105: 105− (−115) 220 −5−+ 1= -5- +1 = 44+ 1= 45. Это в точности набор −115,−110,− 105,...,95,100,105.
23. Синие карты (45 штук). Числа кратны 5, различны, больше −120, наибольшее равно 105. Наименьшее кратное 5 число, большее − 120, – это −115. Количество чисел, кратных 5, в промежутке от −115 до 105. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
24. Это в точности набор −115,−110,− 105,...,95,100,105.
25. Красные карты (105 штук). Числа чётные, различны, больше −120, наибольшее равно 2⋅45= 90. Наименьшее чётное число, большее −120, – это − 118. Количество чётных чисел в промежутке от −118 до 90: 90−(−118) 208 2 + 1= 2 + 1 =104+ 1 =105. Это в точности набор −118,−116,− 114,...,86,88,90.
26. Красные карты (105 штук). Числа чётные, различны, больше −120, наибольшее равно 2⋅45= 90. Наименьшее чётное число, большее −120, – это − 118. Количество чётных чисел в промежутке от −118 до 90. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
27. Это в точности набор −118,−116,− 114,...,86,88,90.
28. Таким образом, s +k = 150 возможно. Следовательно, наибольшее общее количество карт равно 150.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 150