На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11? в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n.$ Найдите наименьшее возможное значение $n.$

Текстовый конспект решения

1. Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа a и b дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа a, c, d, e. Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.
2. А теперь рассмотрим набор из чисел b, c, d, e. Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа a и b дают разные остатки при делении на 4. То есть разность (a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.
3. Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 3, 5, 6.
4. а) Заметим, что числа 351 и 30 021 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.
5. б) Предположим, что на доске есть числа a и 11a . Поскольку число 30 021 даёт остаток 1 при делении на 4, то все числа, включая a и 11a , должны иметь остаток 1 при делении на 4, то есть a ≡ 1 (mod 4) . Тогда 11a≡ 11⋅1 ≡ 11 ≡ 3 (mod 4) , что противоречит условию равенства остатков. Значит, отношение двух чисел не может равняться 11.
6. в) Число 30 021 дает остаток 0 при делении на 3, остаток 1 при делении на 4, остаток 1 при делении на 5, остаток 3 при делении на 6.
7. Заметим, что n > 1, так как все числа различные. Чётные числа не подходят, ведь если n — чётное и a имеет остаток 3 при делении на 6, то na делится на 6.
8. Выполним перебор по n . Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. n≠ 3 так как если число a дает остаток 1 при делении на 4, то число 3a дает остаток 3 при делении на 4;
10. n≠ 5, 15 так как если число a дает остаток 1 при делении на 5, то число 5a делится на 5;
11. n≠ 7 так как если число a дает остаток 1 при делении на 4, то число 7a дает остаток 3 при делении на 4;
12. n≠ 9 так как если число a дает остаток 1 при делении на 5, то число 9a дает остаток 4 при делении на 5;
13. n≠ 11 так как если число a дает остаток 1 при делении на 4, то число 11a даст остаток 3 при делении на 4;
14. n≠ 13 так как если число a дает остаток 1 при делении на 5, то число 13a даст остаток 3 при делении на 5;
15. n≠ 17 так как если число a дает остаток 1 при делении на 5, то число 17a даст остаток 2 при делении на 5;
16. n≠ 19 так как если число a дает остаток 1 при делении на 4, то число 19a даст остаток 3 при делении на 4;
17. На n= 21 есть пример. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
18. Все числа кроме 30021 имеют вид k 21 . Проверим, какие остатки они дают. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
19. При делении на 3: 21≡3 0, поэтому 21k ≡3 0.
20. При делении на 4: 21≡ 1, 4 поэтому 21k ≡ 1k = 1. 4
21. При делении на 5: 21≡5 1, поэтому 21k ≡5 1k = 1.
22. При делении на 6: 21≡6 3. Тогда k k 21 ≡6 3 . Заметим, что 2 3 =9 ≡6 3, 33 = 32⋅3≡6 3⋅3≡6 3, 34 = 33⋅3≡6 3⋅3≡6 3. Видно, что при каждом умножении на 3 остаток не меняется, поэтому 3k ≡6 3. Значит, 21k ≡6 3.
23. При делении на 6: 21≡6 3. Тогда k k 21 ≡6 3 . Заметим, что
24. Видно, что при каждом умножении на 3 остаток не меняется, поэтому 3k ≡6 3. Значит, 21k ≡6 3.
25. Таким образом, числа k 21 дают остаток 0 при делении на 3, остаток 1 при делении на 4, остаток 1 при делении на 5, остаток 3 при делении на 6.
26. Если сложить n чисел с одинаковыми остатками при делении на n, то получится число, кратное n. Поэтому условие задачи на то, что среднее арифметическое любых 3, 4, 5, 6 чисел является целым числом, выполняется.

Ответ: а) Нет, не может б) Нет, не может в) 21