В школах $№$1 и $№$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№$1 в школу $№$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе $№$1 вырасти в 2 раза? б) Средний балл в школе $№$1 вырос на 10%, средний балл в школе $№$2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№$2 равняться 1? в) Средний балл в школе $№$1 вырос на 10%, средний балл в школе $№$2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№$2.

Текстовый конспект решения

1. Пусть средний балл в школе №1 равен A, средний балл в школе №2 равен B, а количество учащихся в первой школе — n. Тогда количество учащихся во второй школе равно 51− n.
2. а) Пусть такое возможно. Суммарный балл до перехода учащегося из школы №1 в школу №2 был nA. После перехода учащегося средний балл вырос в два раза, то есть стал 2A, а количество учащихся стало n − 1. Тогда суммарный балл после перехода учащегося стал 2A (n − 1). Посмотрим, на сколько уменьшился суммарный балл. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
3. Так как n ≥2 по условию, то 2− n≤ 0, то есть A (2− n)≤ 0. Так как каждый учащийся набрал натуральное число баллов, то суммарный балл после перехода учащегося в школу №2 должен был уменьшится на положительное число. Противоречие.
4. б) Пусть учащийся, который перешёл из школы №1 в школу №2 набрал x баллов. Так как средний балл в школе №1 вырос на 10%, то он стал 1,1A, при этом количество учащихся стало на 1 меньше, то есть n− 1. Во второй школе количество учащихся стало 51− (n− 1)= 52− n, а средний балл стал на 10% больше, то есть 1,1B. Суммарный балл в первой школе равен сумме баллов учащегося, который перешел во вторую школу и суммарному баллу в первой школе после перехода этого учащегося, то есть
5. Так как x — натуральное число по условию, то 10x — натуральное число, а значит, и A (11− n) — натуральное число. Тогда 11− n ≥ 0 ⇔ n≤ 11.
6. Аналогично
7. По условию B = 1. Тогда 10x =62 − n. Так как количество баллов каждого учащегося — натуральное число, то 62− n делится на 10. Так как 2≤ n≤ 11, то n = 2.
8. Противоречие, так как средний балл по условию — целое число.
9. в) По условию B — целое число. Значит, B ≥ 1. По пункту б B ≠ 1, значит, B ≥ 2. Пусть B = 2. Из пункта б. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
10. Подставим B = 2. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
11. Значит, 62 − n делится на 5, при этом по доказанному ранее n≤ 11. Тогда n = 2 или n= 7.
12. Пусть B = 2, n = 2. Тогда
13. По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.
14. Пусть B = 2, n = 7. Тогда
15. По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.
16. Значит, B ≥3. Тогда имеем уравнение
17. Приведём пример, в котором B = 3.
18. Если n = 2, x= 18, то средний балл A в школе №1 равен 180 =20. 9 Пусть у перешедшего учащегося было 18 баллов, у оставшегося в школе №1 — 22 балла. Тогда средний балл до перехода в школе №1 был равен 18+22 2 = 20. После перехода учащегося с 18 баллами средний балл в школе №1 стал равен 22 = 22= 1,1⋅20. 1
19. Пусть в школе №2 до перехода учащегося из школы №1 было 49 учащихся с баллом 3. Тогда средний балл в школе №2 был 3. После перехода учащегося из школы №1 средний балл стал равен

Ответ: а) Нет б) Нет в) 3