На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы $-$ цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Текстовый конспект решения

1. Заметим, что любое число k1 из первой группы превращается в число 10k1+ 3; число k2 из второй группы превращается в 10k2+ 7; число k3 из третьей группы никак не меняется. Обозначим сумму чисел в первой группе через X, а их количество через x; сумму чисел во второй группе через Y, а их количество через y; сумму чисел в третьей группе через Z (их количество обозначать необязательно, так как в этой группе ничего не меняется).
2. а) Изначально сумма всех чисел была X + Y + Z, далее в первой группе сумма стала 10X + 3x; во второй группе сумма стала 10Y + 7y. Тогда составим уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
3. В полученном уравнении можно легко подобрать пример: количество чисел во всех группах пусть будет равным 1 и X = 1, Y =8, Z = 4. Таким образом, в первой группе число 1; во второй группе число 8; в третьей группе число 4.
4. Сделаем проверку. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
5. Получилось действительно верное равенство.
6. б) Аналогично рассуждениям из пункта а) составим уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Заметим, что сумма натуральных чисел всегда не меньше, чем их количество, тогда
8. Значит, не существует натуральных чисел, удовлетворяющих нужному соотношению.
9. в) Так как нужно узнать, в какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма, то рассмотрим отношение полученной суммы к изначальной. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
10. Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма X + Y +Z от этого не изменится. В первой группе станет x − 1 число, во второй y +1, а числитель дроби 9X + 9Y +3x +7y изменится на − 3 +7 = 4> 0, то есть увеличится. Таким образом, значение выражения увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение выражения. Значит, для максимального отношения в первой группе должно быть одно число, то есть x = 1.
11. Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма X + Y + Z останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна Z1. Тогда Z1 < Z, следовательно, − 9Z1 > − 9Z. Количество чисел во второй группе станет y +1, а значит, новое значение числителя дроби 3+ 7y − 9Z станет 3 +7(y+ 1)− 9Z1 = 3+ 7y− 9Z1+ 7> 3+ 7y− 9Z. Таким образом, значение выражения увеличилось. Значит, для максимального отношения в третьей группе тоже должно быть одно число.
12. Тогда отношение примет вид
13. Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а значит, больше значение всего выражения. Значит, нужно минимизировать значение X + Y +Z – сумму y +2 различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых y+ 2 натуральных чисел. При этом Z =1, число в первой группе минимально равно 2 (так как числа различны). Значит,
14. Тогда получим
15. Тогда осталось найти максимум выражения
16. Чтобы найти точку максимума, нужно посчитать производную. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
17. Теперь нужно найти нули функции, в данном случае понять, когда числитель равен нулю. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
18. Нас интересуют только положительные значения y, то есть точка максимума функции будет в точке y1, так как в ней происходит переход от положительных значений производной к отрицательным. Также y принимает только натуральные значения, значит, максимальное значение функции будет либо в точке y = 4, либо в точке y =5.
19. y = 4: 10+14y−12−= 10+ -44-= 10+ 22 = 232- (y+ 2)(y+ 3) 6 ⋅7 21 21
20. 14y− 12 58 29 309 232 y = 5: 10+ (y+2)(y+3) = 10+ 7-⋅8 = 10+ 28 = 28-<-21
21. Значит, максимум отношения равен $\frac{232}{21}$ при y = 4. Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть показать пример.
22. Пример будем составлять на основании наших рассуждений, то есть
23. Получаем начальные числа 1,2,3,4,5,6, которые превратятся в числа 1,23,37,47,57,67. Проверим отношение полученных сумм. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
24. Значит, сумма могла увеличиться максимум в 232 -21 раз.

Ответ: а) Да, могла б) Нет, не могла в) $\frac{232}{21}$