На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31? в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n.$ Найдите наименьшее возможное значение $n.$

Текстовый конспект решения

1. Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа a и b дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа a, c, d, e. Их среднее арифметическое – целое число, то есть их сумма кратна 4.
2. А теперь рассмотрим набор из чисел b, c, d, e. Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа a и b дают разные остатки при делении на 4. То есть разность (a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.
3. Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 3, 5, 6.
4. а) Заметим, что числа 303 и 30033 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе – остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.
5. б) Если на доске есть число 30033, то все числа на доске дают остаток 1 при делении на 4. Тогда пусть на доске написаны числа a и 31a. Число a дает остаток 1 при делении на 4, а число 31a дает остаток 31⋅1 = 31 ≡4 3, то есть остаток 3 при делении на 4. Получили противоречие с доказанным выше фактом.
6. в) По доказанному выше факту все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на 3, 4, 5 и 6. Следовательно, они дают одинаковый остаток и при делении на НОК (3,4,5,6)= 60 . Число 30033 даёт остаток 33 при делении на 60, поэтому все числа имеют остаток 33 при делении на 60.
7. Возьмём числа ai = 60ki+ 33, aj = 60kj +33, написанные на доске, для которых справедливо. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Преобразуем уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Получаем, что 20 является делителем числа 11 ⋅(n2− 1). Так как 11 и 20 — взаимно простые, то (n2− 1) кратно 20. Рассмотрим остатки квадратов натуральных чисел n > 1 при делении на 20. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
10. Таким образом минимальное возможное значение n, квадрат которого может быть отношением двух из записанных чисел, это n = 9.
11. Приведём пример таких чисел, отношение которых равно 81. Пусть ai =33. Тогда aj = ai⋅81 = 2673. Заметим, что 2673= 2640+ 33= 60⋅44+ 33. Значит, данное число подходит. Пусть число 30033 будет последним, то есть a10 = 30033. Теперь возьмём целые числа k от 1 до 7 и подставим их в общий вид наших чисел: 33+ 60k. Получим последовательноть чисел. Формула и подстановка показаны на изображении решения.

Ответ: а) Нет, не может б) Нет, не может в) 9