Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй $-$ 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй $-$ 89,
а в третьей $-$ 15? б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Текстовый конспект решения

1. а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. Повторяя данный алгоритм 5 раз, мы можем переместить 15 камней из второй коробки в третью.
3. б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас a камней, в третьей c камней. Тогда разность равна c − a.
4. Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна
5. Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна
6. Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна
7. Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3.
8. Тогда если бы после некоторых операций все 97+ 104+ 0= 201 камней оказались в третьей коробке, то разность c− a стала бы равна 201− 0= 201.
9. Изначально разность была равна 0 − 97 = −97, значит, она изменилась на 201− (− 97) =298. Однако 298 не делится на 3, значит, в третьей коробке не мог оказаться 201 камень.
10. в) Аналогично предыдущему пункту можно показать, что разность чисел камней в любых двух коробках может измениться только на число, кратное 3.
11. Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна 104− 97 = 7. По условию в первой коробке оказался 1 камень.
12. Найдем наименьшее количество b ≥0 камней, которое могло оказаться во второй коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Тогда в третьей коробке может быть не более 201− 1− 2= 198 камней.
14. Покажем, как можно добиться ровно 198 камней. Покажем, как за шесть ходов увеличить третью коробку на 6 камней, сохранив достаточно камней в первых двух для повторения. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
15. Видим, что за шесть ходов первая коробка уменьшилась с 97 до 94, то есть на 3, а вторая со 104 до 99, то есть на 5. Значит, для повторения серии нужно, чтобы перед её началом в первой коробке было хотя бы 3 камня, а во второй хотя бы 5.
16. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдем до ситуации (1;8;192).
17. Теперь будем перекладывать по 2 камня из второй коробки в третью. Формула и подстановка показаны на изображении решения.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 198