Из пары натуральных чисел $(a;b)$, где $a>b$, за один ход получают пару $(a+b;a-b)$. а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100;1)$ пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100;1)$ пару $(806;788)$? в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a;b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806;788)$?

Текстовый конспект решения

1. а) Да, можно, например так. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. б) Рассмотрим пару (a;b), где a> b, и совершим с ней два хода. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
3. Таким образом, за 2k ходов из пары (100;1) мы можем получить только пары вида (k k) 2 ⋅100;2 .
4. После одного хода из (100;1) мы получим (101;99). Тогда за 2k+ 1 ход из пары (100;1) мы можем получить только пары вида ( ) 2k ⋅101;2k ⋅99 .
5. Число 806 не равно ни 2k ⋅100, ни 2k ⋅101. Следовательно, пару (806;788) невозможно получить за несколько ходов из пары (100;1).
6. в) Заметим, что числа любой пары, которую мы можем получить, одной четности: если изначально a и b разной четности, то a+ b и a− b — нечетные; если a и b одной четности, то a+ b и a− b — четные.
7. Теперь поймем, из какой пары можно было получить пару (806;788). Пусть (a+ b;a− b) =(c;d). Тогда a= c-+d, 2 b= c−d. 2
8. Таким образом, пару (806;788) можно было получить только из пары (797;9). Ее в свою очередь можно было получить только из пары (403;394).
9. Заметим, что числа в паре (403;394) разной четности, значит, такую пару нельзя было получить с помощью операции из условия. Тогда наименьшее число a в паре (a;b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806;788), равно 403.

Ответ: а) Да б) Нет в) 403