На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1+1+111+11+11+1=136$. а) Можно ли получить сумму 113, если $n=50$? б) Можно ли получить сумму 114, если $n=50$? в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n=50$?

Текстовый конспект решения

1. а) Если в сумме есть слагаемое 111, то осталось составить сумму 113 − 111= 2 из слагаемых 1 и 11. Но даже из 50− 3= 47 единиц сделать это невозможно, ведь они в сумме дадут как минимум 47.
2. Значит, все слагаемые равны 1 или 11. Пусть x слагаемых равны 11, тогда оставшиеся 50− 2x слагаемых равны 1. Можем составить уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
3. Получили, что такое возможно, если взять 7 слагаемых по 11 и 36 слагаемых по 1. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
4. При этом здесь ровно 7⋅2 +36 =50 единиц.
5. б) Аналогично рассуждениям из пункта а) понимаем, что из 50− 3= 47 единиц составить сумму 114− 111= 3 невозможно, значит, слагаемого 111 быть не могло.
6. Пусть x слагаемых равны 11, тогда 50 − 2x слагаемых равны 1. Можем составить уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Данное уравнение имеет только нецелое решение, значит, сумму 114 получить нельзя.
8. в) Заметим, что четырёхзначное число не больше 9999 = 9⋅1111. Значит, чисел 1111 мы можем составить не более 9, а числа больше 1111 составлять нельзя.
9. Если мы составили 9 чисел 1111, то в них мы задействовали 36 единиц. Тогда из оставшихся 50− 36= 14 единиц будут образованы еще какие-то натуральные числа (сумма которых минимум 14), значит, итоговая сумма будет более 9999.
10. Если мы составили 8 чисел 1111, то их сумма равна 8888. Помимо этих 32 единиц у нас остались еще 50 − 32 =18 единиц. Из них можно составлять только числа 111, 11 и 1. Тогда можно получить 6 чисел 111, сумма которых будет равняться 666. Очевидно, результат больше достичь нельзя. Таким образом, в этом случае наибольшее число, которое мы можем получить, равно 8888+ 666= 9554.
11. Если составлено 7 или менее чисел 1111, то сумма будет меньше 9554. Действительно, четыре единицы в числе 1111 дают вклад 1111, а те же четыре единицы, использованные в числах 111, 11 или 1, дадут не более 111+ 1= 112. Поэтому заменять 1111 на более короткие числа невыгодно, и с уменьшением количества чисел 1111 итоговая сумма убывает. Следовательно, максимум достигается при наибольшим возможном количестве чисел 1111, то есть при восьми.
12. Таким образом, при n= 50 наибольшая четырехзначная сумма, которую можно получить, равна 9554.

Ответ: а) Да б) Нет в) 9554