Различим авторскую уверенность и ссылку на оценку историков, выделив обе вставки целиком.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Деятельность Мамонтова занимает достойное место в культуре; в этом заключалась его миссия. Найдём слова, которые не входят в основное сообщение, и проверим все отмеченные позиции. Знаки вне пронумерованных мест сохраняем.
Шаг 2. Определим роль слов и конструкций
1. Уверенная оценка
«конечно». Слово выражает убеждённость автора в значении деятельности Мамонтова. Основная связь «деятельность занимает место» сохраняется без него; ставим (1), (2).
2. Чужая оценка как источник
«по мнению историков». Это указание, кому принадлежит оценка патриотической миссии. Всё сочетание вводное, включая «историков»; его границы — (3), (4).
Шаг 3. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…Деятельность Саввы Ивановича Мамонтова (1) конечно занимает достойное место в…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «конечно». Основание: уверенная оценка.
(2) — ставим запятую
…Деятельность Саввы Ивановича Мамонтова конечно (2) занимает достойное место в истории…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «конечно». Основание: уверенная оценка.
(3) — ставим запятую
…Абрамцевского художественного кружка. В этом (3) по мнению историков заключалась высокая…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «по мнению историков». Основание: чужая оценка как источник.
(4) — ставим запятую
…В этом по мнению историков (4) заключалась высокая патриотическая миссия Мамонтова.…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «по мнению историков». Основание: чужая оценка как источник.
Текст с запятыми на указанных местах
Деятельность Саввы Ивановича Мамонтова, конечно, занимает достойное место в истории русской культуры: он был одним из крупнейших меценатов России, создателем Абрамцевского художественного кружка. В этом, по мнению историков, заключалась высокая патриотическая миссия Мамонтова.
Шаг 4. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (2), (3), (4). В этой карточке подходят все отмеченные цифрами места. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 1234.
Ответ:1234
ФИПИ: навигатор по пунктуации