После противительного «однако» запятой нет, а «возможно» выделяется как оценка достоверности.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Стихотворение не было опубликовано, но распространялось в списках; время создания продолжения названо предположительно. Найдём слова, которые не входят в основное сообщение, и проверим все отмеченные позиции. Знаки вне пронумерованных мест сохраняем.
Шаг 2. Определим роль слов и конструкций
1. Союз между однородными сказуемыми
«однако». «Однако» заменяется на «но» и соединяет «не было опубликовано» с «распространялось». Перед противительным союзом нужна запятая (1), после него на месте (2) — нет.
2. Предположение о времени работы
«возможно». Автор не утверждает точно, когда написано продолжение. Вводное слово стоит между «написал» и обстоятельством времени; выделяем (3), (4).
Шаг 3. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…Пушкина. Оно не было опубликовано (1) однако распространялось в списках. Продолжение…
Здесь разделяем связанные союзом части или сказуемые: «однако». Основание: союз между однородными сказуемыми.
(2) — без запятой
…Оно не было опубликовано однако (2) распространялось в списках. Продолжение стихотворения…
«однако» выполняет функцию союза. Запятая сразу после него здесь не нужна.
(3) — ставим запятую
…списках. Продолжение стихотворения Лермонтов написал (3) возможно после того, как узнал…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «возможно». Основание: предположение о времени работы.
(4) — ставим запятую
…Продолжение стихотворения Лермонтов написал возможно (4) после того, как узнал подробности…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «возможно». Основание: предположение о времени работы.
Текст с запятыми на указанных местах
Стихотворение «Смерть поэта» написано М.Ю. Лермонтовым после гибели А.С. Пушкина. Оно не было опубликовано, однако распространялось в списках. Продолжение стихотворения Лермонтов написал, возможно, после того, как узнал подробности дуэли и смерти Пушкина.
Шаг 4. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (3), (4). Позиции (2) исключаем по разобранным связям слов. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 134.
Ответ:134
ФИПИ: навигатор по пунктуации