Одна вставка ссылается на предание, другая передаёт уверенность; союз «что» и слово «потому» остаются за их пределами.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Мать рассказывала об умывании первым снегом и сохранении красоты. Найдём слова, которые не входят в основное сообщение, и проверим все отмеченные позиции. Знаки вне пронумерованных мест сохраняем.
Шаг 2. Определим роль слов и конструкций
1. Указание на предание
«по преданию». Сочетание обозначает источник сведений о старинном обычае. Оно вводное после союза «что»: ставим (1), (2), не включая союз в состав вставки.
2. Оценка следствия
«конечно». Слово выражает уверенность в названном следствии обычая. Связка «и потому долго сохраняли» сохраняется без него; выделяем «конечно» на местах (3), (4).
Шаг 3. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…Моя мать рассказывала, что (1) по преданию в старину красавицы…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «по преданию». Основание: указание на предание.
(2) — ставим запятую
…мать рассказывала, что по преданию (2) в старину красавицы умывались первым…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «по преданию». Основание: указание на предание.
(3) — ставим запятую
…умывались первым снегом и потому (3) конечно долго сохраняли свою красоту.…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «конечно». Основание: оценка следствия.
(4) — ставим запятую
…первым снегом и потому конечно (4) долго сохраняли свою красоту.…
Здесь выделяем вводную конструкцию: «конечно». Основание: оценка следствия.
Текст с запятыми на указанных местах
Моя мать рассказывала, что, по преданию, в старину красавицы умывались первым снегом и потому, конечно, долго сохраняли свою красоту.
Шаг 4. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (2), (3), (4). В этой карточке подходят все отмеченные цифрами места. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 1234.
Ответ:1234
ФИПИ: навигатор по пунктуации