Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ C56952106 из 316

Основание равнобедренной трапеции по высоте и углу

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Рисунок к заданию 17 ФИПИ C56952

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание C56952.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 4.

Что нужно найти

Основание равнобедренной трапеции по высоте и углу

Идея решения

Опустим две высоты из концов меньшего основания. Они выделят прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. При угле 45° горизонтальный катет каждого такого треугольника равен высоте.

Высота
55
Известное большее основание
1414
Угол при большем основании
45∘45^\circ
Найти
меньшее основание

Переносим данные с рисунка

На рисунке ФИПИ указаны высота 55, большее основание 1414 и угол 45°. Обозначим большее основание AD, меньшее BC, основания высот K и H.

  • BK = CH = 5
  • KH = BC = 4
BKBK=CH=CH
=5=5
ADAD=14=14

Две высоты делят трапецию на прямоугольник и два равных треугольника с углами 45°

Две высоты делят трапецию на прямоугольник и два равных треугольника с углами 45°.
Обозначения на чертеже
  • BK = CH = 5
  • AK = HD = 5
  • KH = BC = 4
Две высоты делят трапецию на прямоугольник и два равных треугольника с углами 45°.
Открыть схему крупнее ↗

Выделяем три части основания

Высоты BK и CH отсекают по краям равные треугольники ABK и DCH. В середине находится прямоугольник KBCH. Поэтому KH = BC, а AK = HD.

  • BK = CH = 5
  • AK = HD = 5
  • KH = BC = 4
ADAD=AK=AK+KH+KH+HD,KH+HD,\quad KH
=BC=BC

Находим выступающие части

В треугольнике ABK один угол 90°, другой 45°, третий тоже 45°. Равным углам противолежат равные стороны. Значит, AK = BK = h. Аналогично HD = h.

  • BK = CH = 5
  • AK = HD = 5
AKAK=HD=HD
=5=5

Выражаем искомое основание

Из разложения AD = h + BC + h получаем AD = BC + 2h. Переносим 2h в другую часть равенства, то есть вычитаем его из большего основания.

  • KH = BC = 4
ADAD=BC=BC+2h+2h
BCBC=AD=AD−2h-2h

Вычисляем

Сначала умножаем высоту на 2, затем вычитаем.

  • KH = BC = 4
22⋅5\cdot5=10=10
BCBC=14=14−10-10
=4=4

Проверяем основание

Из большего основания вычитаем две выступающие части: должно остаться меньшее.

1414−5-5−5-5=9=9−5-5

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=4=4

Разложение основания согласуется с данными.

Записываем ответ

Мы нашли искомую длину. В поле ответа переносим только число.

44

Ответ: 4. Если есть дробная часть, можно использовать запятую или точку.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаОснование равнобедренной трапеции по высоте и углу
Ответ44

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Выпишите данные с рисунка.
  2. Опустите две высоты.
  3. Найдите горизонтальные катеты по углу 45°.
  4. Свяжите основания через две равные части.
  5. Проверьте восстановлением известного основания.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.
  • Прямоугольные треугольники у боковых сторон равны по гипотенузе и катету.
  • Противоположные стороны прямоугольника равны.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Высоту нужно прибавить или вычесть дважды: слева и справа есть по одному треугольнику.
  • Не путайте высоту с наклонной боковой стороной.
  • Считывайте числа с исходного рисунка, а не измеряйте его линейкой.
Все задания №17 (316)