Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ AE58DE267 из 316

Площадь ромба по диагонали и тангенсу

Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tgBCA=0,5. Найдите площадь ромба.

Рисунок к заданию 17 ФИПИ AE58DE

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание AE58DE.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 16.

Что нужно найти

Площадь ромба по диагонали и тангенсу

Идея решения

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике BOC знаем OC и отношение BO/OC. Через тангенс найдём BO, удвоим его и вычислим площадь по диагоналям.

Диагональ AC
88
Тангенс угла BCA
0,50{,}5
Найти
площадь ромба

Выделяем прямоугольный треугольник

Проведём BD и обозначим пересечение диагоналей O. У ромба AC перпендикулярна BD, поэтому треугольник BOC прямоугольный. O лежит на CA, значит угол BCO совпадает с данным углом BCA.

  • OC = AC / 2 = 4
  • BO = OC · tg ∠BCA
  • BD = 2BO
∠BOC\angle BOC=90∘,OC=90^\circ,\quad OC
=AC/2=AC/2

В прямоугольном треугольнике BOC синий катет OC прилежит к углу C, зелёный BO лежит напротив

В прямоугольном треугольнике BOC синий катет OC прилежит к углу C, зелёный BO лежит напротив.
Обозначения на чертеже
  • OC = AC / 2 = 4
  • BO = OC · tg ∠BCA
  • BD = 2BO
В прямоугольном треугольнике BOC синий катет OC прилежит к углу C, зелёный BO лежит напротив.
Открыть схему крупнее ↗

Находим известный катет OC

Диагонали делятся пополам, поэтому делим AC на 2.

  • OC = AC / 2 = 4
  • BO = OC · tg ∠BCA
OCOC=82=\frac{8}{2}
=4=4

Разбираем определение тангенса

Относительно угла при C катет BO лежит напротив, а OC прилегает к углу. Поэтому tg BCA = BO/OC. Умножаем обе части на OC.

  • OC = AC / 2 = 4
  • BO = OC · tg ∠BCA
tg⁡∠BCA\operatorname{tg}\angle BCA=BOOC=\frac{BO}{OC}
BOBO=OC=OC⋅tg⁡∠BCA\cdot\operatorname{tg}\angle BCA

Вычисляем BO

Подставляем длину OC и значение тангенса.

  • OC = AC / 2 = 4
  • BO = OC · tg ∠BCA
BOBO=4=4⋅0,5\cdot0{,}5
=2=2

Восстанавливаем целую диагональ BD

BO — только половина диагонали. Удваиваем найденную длину.

  • BO = OC · tg ∠BCA
  • BD = 2BO
BDBD=2BO=2BO
BDBD=2=2⋅2\cdot2
=4=4

Вычисляем площадь ромба

Диагонали разбивают ромб на четыре прямоугольных треугольника. Их суммарная площадь равна половине произведения целых диагоналей.

  • OC = AC / 2 = 4
  • BD = 2BO
SS=AC⋅BD2=\frac{AC\cdot BD}{2}
SS=8⋅42=\frac{8\cdot4}{2}
=322=\frac{32}{2}
=16=16

Проверяем тангенс

Делим найденный противолежащий катет BO на прилежащий OC.

  • OC = AC / 2 = 4
  • BO = OC · tg ∠BCA
24\frac{2}{4}=2:24:2=\frac{2:2}{4:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

=12=\frac{1}{2}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

=0,5=0{,}5

Получили заданный тангенс. Значит, не перепутали катеты.

Записываем ответ

Мы нашли площадь фигуры. В поле ответа переносим только число.

1616

Ответ: 16. Если есть дробная часть, можно использовать запятую или точку.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь ромба по диагонали и тангенсу
Ответ1616

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте пересечение диагоналей O.
  2. Найдите OC = AC/2.
  3. Выразите BO через тангенс угла BCA.
  4. Удвойте BO, чтобы получить BD.
  5. Вычислите половину произведения диагоналей.
  6. Проверьте тангенс обратным делением.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
  • Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
  • Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Тангенс угла при C — BO/OC, а не OC/BO.
  • Из AC сначала находим половину OC, а из BO затем восстанавливаем целую BD.
  • Не забывайте разделить произведение целых диагоналей на 2.
Все задания №17 (316)