Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ 7B0DD9264 из 316

Площадь ромба по диагонали и тангенсу

Диагональ AC ромба ABCD равна 60, а tg BCA = 0,4. Найдите площадь ромба.

Рисунок к заданию 17 ФИПИ 7B0DD9

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 7B0DD9.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 720.

Что нужно найти

Площадь ромба по диагонали и тангенсу

Идея решения

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике BOC знаем OC и отношение BO/OC. Через тангенс найдём BO, удвоим его и вычислим площадь по диагоналям.

Диагональ AC
6060
Тангенс угла BCA
0,40{,}4
Найти
площадь ромба

Выделяем прямоугольный треугольник

Проведём BD и обозначим пересечение диагоналей O. У ромба AC перпендикулярна BD, поэтому треугольник BOC прямоугольный. O лежит на CA, значит угол BCO совпадает с данным углом BCA.

  • OC = AC / 2 = 30
  • BO = OC · tg ∠BCA
  • BD = 2BO
∠BOC\angle BOC=90∘,OC=90^\circ,\quad OC
=AC/2=AC/2

В прямоугольном треугольнике BOC синий катет OC прилежит к углу C, зелёный BO лежит напротив

В прямоугольном треугольнике BOC синий катет OC прилежит к углу C, зелёный BO лежит напротив.
Обозначения на чертеже
  • OC = AC / 2 = 30
  • BO = OC · tg ∠BCA
  • BD = 2BO
В прямоугольном треугольнике BOC синий катет OC прилежит к углу C, зелёный BO лежит напротив.
Открыть схему крупнее ↗

Находим известный катет OC

Диагонали делятся пополам, поэтому делим AC на 2.

  • OC = AC / 2 = 30
  • BO = OC · tg ∠BCA
OCOC=602=\frac{60}{2}
=30=30

Разбираем определение тангенса

Относительно угла при C катет BO лежит напротив, а OC прилегает к углу. Поэтому tg BCA = BO/OC. Умножаем обе части на OC.

  • OC = AC / 2 = 30
  • BO = OC · tg ∠BCA
tg⁡∠BCA\operatorname{tg}\angle BCA=BOOC=\frac{BO}{OC}
BOBO=OC=OC⋅tg⁡∠BCA\cdot\operatorname{tg}\angle BCA

Вычисляем BO

Подставляем длину OC и значение тангенса.

  • OC = AC / 2 = 30
  • BO = OC · tg ∠BCA
BOBO=30=30⋅0,4\cdot0{,}4
=12=12

Восстанавливаем целую диагональ BD

BO — только половина диагонали. Удваиваем найденную длину.

  • BO = OC · tg ∠BCA
  • BD = 2BO
BDBD=2BO=2BO
BDBD=2=2⋅12\cdot12
=24=24

Вычисляем площадь ромба

Диагонали разбивают ромб на четыре прямоугольных треугольника. Их суммарная площадь равна половине произведения целых диагоналей.

  • OC = AC / 2 = 30
  • BD = 2BO
SS=AC⋅BD2=\frac{AC\cdot BD}{2}
SS=60⋅242=\frac{60\cdot24}{2}
=14402=\frac{1440}{2}
=720=720

Проверяем тангенс

Делим найденный противолежащий катет BO на прилежащий OC.

  • OC = AC / 2 = 30
  • BO = OC · tg ∠BCA
1230\frac{12}{30}
=12:630:6=\frac{12:6}{30:6}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 6.

=25=\frac{2}{5}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

=0,4=0{,}4

Получили заданный тангенс. Значит, не перепутали катеты.

Записываем ответ

Мы нашли площадь фигуры. В поле ответа переносим только число.

720720

Ответ: 720. Если есть дробная часть, можно использовать запятую или точку.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь ромба по диагонали и тангенсу
Ответ720720

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте пересечение диагоналей O.
  2. Найдите OC = AC/2.
  3. Выразите BO через тангенс угла BCA.
  4. Удвойте BO, чтобы получить BD.
  5. Вычислите половину произведения диагоналей.
  6. Проверьте тангенс обратным делением.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
  • Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
  • Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Тангенс угла при C — BO/OC, а не OC/BO.
  • Из AC сначала находим половину OC, а из BO затем восстанавливаем целую BD.
  • Не забывайте разделить произведение целых диагоналей на 2.
Все задания №17 (316)