Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ 03F9DB90 из 316

Площадь равнобедренной трапеции по основаниям и углу

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45° . Найдите площадь этой трапеции.

Рисунок к заданию 17 ФИПИ 03F9DB

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 03F9DB.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 12.

Что нужно найти

Площадь равнобедренной трапеции по основаниям и углу

Идея решения

Для площади не хватает высоты. Две высоты отсекут равные выступы: каждый равен половине разности оснований. При угле 45° высота равна такому выступу.

Основания
44 и 88
Угол при основании
45∘45^\circ
Найти
площадь

Выделяем выступы

Опустим BK и CH на большее основание AD. Средний отрезок KH равен BC, а AK = HD. Поэтому AD − BC = 2AK.

  • AD = 8, BC = 4
  • AK = HD = 2
  • BK = CH = h
AKAK=HD=HD
=AD−BC2=\frac{AD-BC}{2}

Высота равна выступу основания, потому что угол при большем основании равен 45°

Высота равна выступу основания, потому что угол при большем основании равен 45°.
Обозначения на чертеже
  • AD = 8, BC = 4
  • AK = HD = 2
  • BK = CH = h
Высота равна выступу основания, потому что угол при большем основании равен 45°.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем длину выступа

Вычитаем меньшее основание из большего и делим разность на 2.

  • AK = HD = 2
AKAK=8−42=\frac{8-4}{2}
=42=\frac{4}{2}
=2=2

Находим высоту по углу 45°

В треугольнике ABK углы равны 90°, 45° и 45°. Его катеты AK и BK равны, значит высота BK = AK.

  • AK = HD = 2
  • BK = CH = h
hh=BK=BK
=AK=AK
=2=2

Находим среднюю длину оснований

Для площади нужна полусумма оснований.

mm=8+42=\frac{8+4}{2}
=122=\frac{12}{2}
=6=6

Вычисляем площадь

Умножаем найденную полусумму на высоту.

SS=mh=mh
SS=6=6⋅2\cdot2
=12=12

Проверяем основание и площадь

Два выступа вместе с меньшим основанием должны дать большее. Деление площади на среднюю линию возвращает высоту.

22+4+4+2+2=6=6+2+2

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=8=8
126\frac{12}{6}=2=2

Записываем ответ

Мы нашли площадь фигуры. В поле ответа переносим только число.

1212

Ответ: 12. Если есть дробная часть, можно использовать запятую или точку.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь равнобедренной трапеции по основаниям и углу
Ответ1212

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Опустите две высоты.
  2. Найдите половину разности оснований.
  3. Приравняйте её высоте по углу 45°.
  4. Вычислите полусумму оснований.
  5. Умножьте полусумму на высоту.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Высоты образуют прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны.
  • S=a+b2hS=\dfrac{a+b}{2}h — формула площади трапеции.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Разность оснований распределяется на два равных выступа, поэтому делим её на 2.
  • Не подставляйте боковую сторону вместо высоты.
  • В формуле площади используется сумма оснований, а при нахождении высоты — разность.
Все задания №17 (316)