Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ 83E501229 из 316

Угол при большем основании трапеции по диагонали

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 30° и 80°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Рисунок к заданию 17 ФИПИ 83E501

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 83E501.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 65.

Что нужно найти

Угол при большем основании трапеции по диагонали

Идея решения

Обозначим одинаковые углы при большем основании через x. Диагональ оставляет у одного основания угол x − α. В треугольнике с другим боковым ребром запишем сумму трёх углов и получим уравнение для x.

Углы диагонали с боковыми сторонами
30∘30^\circ и 80∘80^\circ
Найти
угол при большем основании

Обозначаем угол при основании

Назовём вершины так, чтобы AD было большим основанием, а AC — диагональю. Тогда ∠BAD = ∠CDA = x. Данные углы между диагональю и боковыми сторонами обозначим ∠BAC = α и ∠ACD = β.

  • ∠BAC = 30°
  • ∠ACD = 80°
  • ∠BAD = ∠CDA = x
α\alpha=30∘,β=30^\circ,\quad\beta
=80∘=80^\circ

Диагональ AC выделена зелёным

Диагональ AC выделена зелёным. Для уравнения используем треугольник ACD и равные углы у основания AD.
Обозначения на чертеже
  • ∠BAC = 30°
  • ∠ACD = 80°
  • ∠BAD = ∠CDA = x
Диагональ AC выделена зелёным. Для уравнения используем треугольник ACD и равные углы у основания AD.
Открыть схему крупнее ↗

Объясняем расположение двух данных углов

В равнобедренной трапеции угол ACD больше BAC: их разность равна 180° − 2x, а x — острый угол при большем основании. Поэтому меньший из данных углов ставим у A, больший — у C.

  • ∠BAC = 30°
  • ∠ACD = 80°
∠CAD\angle CAD=x=x−α-\alpha

Составляем уравнение по треугольнику ACD

Три угла этого треугольника: x − α при A, β при C и x при D. Их сумма равна 180°.

(x−α)(x-\alpha)+β+\beta+x+x=180∘=180^\circ
2x2x=180∘=180^\circ+α+\alpha−β-\beta

Вычисляем удвоенный угол

Подставляем оба известных угла.

2x2x=180=180+30+30−80-80
=210=210−80-80

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=130∘=130^\circ

Находим один угол

Полученное число — два одинаковых угла x, поэтому делим на 2.

xx=1302=\frac{130}{2}
=65∘=65^\circ

Проверяем треугольник

Оставшаяся часть угла A равна x − α. Складываем её с углами C и D.

∠CAD\angle CAD=65=65−30-30
=35∘=35^\circ
3535+80+80+65+65=115=115+65+65

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180∘=180^\circ

Все углы положительны, сумма равна 180°.

Записываем ответ

Мы нашли искомый угол в градусах. В поле ответа переносим только число.

6565

Ответ: 65. Знак градуса в поле ответа не нужен.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаУгол при большем основании трапеции по диагонали
Ответ65∘65^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте угол при большем основании x.
  2. Выразите угол между диагональю и основанием как x − α.
  3. Запишите сумму углов треугольника ACD.
  4. Решите полученное линейное уравнение.
  5. Проверьте все углы треугольника.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагональ лежит внутри угла и делит его на две части.
  • Если полный угол равен x, а одна часть α, другая равна x − α.
  • В треугольнике ACD угол D равен углу A всей трапеции.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не считайте диагональ биссектрисой: это не дано.
  • Углы при большем основании равны друг другу, но не равны углам при меньшем.
  • В уравнении два раза появляется x; после переноса чисел нужно разделить на 2.
Все задания №17 (316)