Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ F72ABD236 из 316

Острый угол ромба по перпендикуляру из центра

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 29°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Рисунок к заданию 17 ФИПИ F72ABD

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F72ABD.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 58.

Что нужно найти

Острый угол ромба по перпендикуляру из центра

Идея решения

Диагонали ромба перпендикулярны. Поэтому перпендикуляр к стороне образует с ними два угла, дополняющих друг друга до 90°. Меньший из этих углов равен половине острого угла ромба. Обоснуем это через прямоугольный треугольник.

Угол перпендикуляра с диагональю
29∘29^\circ
Найти
острый угол ромба

Обозначаем нужные линии

Пусть AC — большая диагональ, BD — меньшая, O — их пересечение. Проведём OH перпендикулярно BC. Острые углы ромба находятся при A и C; AC делит каждый из них пополам.

  • OH ⟂ BC
  • AC ⟂ BD
AC⊥BD,OH⊥BCAC\perp BD,\quad OH\perp BC

Перпендикуляр OH и две диагонали выделяют прямоугольный треугольник OCH

Перпендикуляр OH и две диагонали выделяют прямоугольный треугольник OCH.
Обозначения на чертеже
  • OH ⟂ BC
  • ∠BOH = 29°
  • AC ⟂ BD
  • ∠OCH = ∠C / 2
Перпендикуляр OH и две диагонали выделяют прямоугольный треугольник OCH.
Открыть схему крупнее ↗

Находим второй угол у O

Перпендикуляр OH лежит внутри прямого угла BOC. Поэтому углы BOH и HOC в сумме равны 90°.

  • OH ⟂ BC
  • ∠BOH = 29°
9090−29-29=61∘=61^\circ

Один угол равен 29°, другой — 61°.

Связываем углы с углом ромба

В прямоугольном треугольнике OCH сумма ∠HOC и ∠OCH равна 90°. Но ∠HOC + ∠BOH тоже равна 90°. Следовательно, ∠OCH = ∠BOH. Угол OCH — половина острого угла C, поэтому он меньше 45°.

  • ∠BOH = 29°
  • ∠OCH = ∠C / 2
∠OCH\angle OCH=∠BOH=\angle BOH
=∠C2=\frac{\angle C}{2}

Выбираем половину острого угла

Из 29° и 61° меньший равен 29°. Именно он является половиной острого угла ромба.

∠C2\frac{\angle C}{2}=29∘=29^\circ

Вычисляем полный острый угол

Удваиваем найденную половину.

∠C\angle C=2=2⋅29\cdot29
=58∘=58^\circ

Проверяем

Половина найденного угла и её дополнение до 90° должны воспроизвести два угла при O.

582\frac{58}{2}=29∘=29^\circ
9090−29-29=61∘=61^\circ

Среди них есть данное значение 29°. Сам угол ромба меньше 90°.

Записываем ответ

Мы нашли искомый угол в градусах. В поле ответа переносим только число.

5858

Ответ: 58. Знак градуса в поле ответа не нужен.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаОстрый угол ромба по перпендикуляру из центра
Ответ58∘58^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте O — пересечение диагоналей, H — основание перпендикуляра.
  2. Найдите оба угла OH с диагоналями.
  3. В прямоугольном треугольнике OCH свяжите их с половиной угла C.
  4. Удвойте меньший угол.
  5. Проверьте исходный угол.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Расстояние от центра до стороны проводят по перпендикуляру.
  • В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
  • Большая диагональ ромба соединяет вершины острых углов.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не удваивайте автоматически данное число: оно может быть дополнением половины острого угла до 90°.
  • Нужно использовать меньший из углов α и 90° − α.
  • Перпендикуляр к стороне — не диагональ ромба.
Все задания №17 (316)