Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ AA4DCC131 из 316

Площадь ромба по периметру и углу

Периметр ромба равен 72, а один из углов равен 30° . Найдите площадь этого ромба.

Рисунок к заданию 17 ФИПИ AA4DCC

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание AA4DCC.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 162.

Что нужно найти

Площадь ромба по периметру и углу

Идея решения

Сначала найдём сторону: у ромба четыре равные стороны. Затем опустим высоту. Она окажется катетом против угла 30° и будет равна половине стороны. После этого умножим основание на высоту.

Периметр
7272
Угол ромба
30∘30^\circ
Найти
площадь

Находим сторону из периметра

Периметр — сумма четырёх равных сторон. Чтобы получить одну сторону, делим на 4.

PP=4a,a=4a,\quad a
=P4=\frac P4
aa=724=\frac{72}{4}
=18=18

Высота BH выделена зелёным

Высота BH выделена зелёным. Она является катетом против угла 30° в треугольнике ABH.
Обозначения на чертеже
  • AB = AD = 18
  • BH = h
  • ∠BAH = 30°
Высота BH выделена зелёным. Она является катетом против угла 30° в треугольнике ABH.
Открыть схему крупнее ↗

Определяем угол у основания

Выберем вершину A с острым углом. Данный угол уже равен 30°.

∠A\angle A=30∘=30^\circ

Проводим высоту

Из B опустим BH перпендикулярно AD. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB = a, а высота BH лежит против угла A = 30°.

  • AB = AD = 18
  • BH = h
BHBH=h,∠BHA=h,\quad \angle BHA
=90∘=90^\circ

Находим высоту

Катет напротив 30° равен половине гипотенузы. То же следует из определения синуса: sin 30° = h/a = 1/2.

  • BH = h
hh=a2=\frac a2
hh=182=\frac{18}{2}
=9=9

Вычисляем площадь

Берём сторону AD как основание. Соответствующая высота — BH, поэтому умножаем a на h.

  • AB = AD = 18
  • BH = h
SS=ah=ah
SS=18=18⋅9\cdot9
=162=162

Проверяем результат

Высота должна быть половиной стороны. Также проверим периметр по найденной стороне.

22⋅9\cdot9=18=18
44⋅18\cdot18=72=72

Исходные данные восстановлены.

Записываем ответ

Мы нашли площадь фигуры. В поле ответа переносим только число.

162162

Ответ: 162. Если есть дробная часть, можно использовать запятую или точку.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь ромба по периметру и углу
Ответ162162

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Разделите периметр на 4.
  2. Найдите острый угол ромба.
  3. Опустите высоту и выделите прямоугольный треугольник.
  4. Найдите катет напротив 30°.
  5. Умножьте основание на высоту.
  6. Проверьте вычисления.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Все четыре стороны ромба равны.
  • Соседние углы ромба в сумме дают 180°.
  • Высота перпендикулярна основанию.
  • S=ahS=ah — площадь ромба, как и любого параллелограмма.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте сторону и высоту: наклонная сторона длиннее перпендикуляра.
  • Если дан угол 150°, в прямоугольном треугольнике используем соседний угол 30°.
  • Площадь — основание на высоту, а не произведение двух сторон.
Все задания №17 (316)