Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ 9C87C6292 из 316

Высота трапеции по диагонали под углом 45°

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 5.

Рисунок к заданию 17 ФИПИ 9C87C6

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9C87C6.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 3,5.

Что нужно найти

Высота трапеции по диагонали под углом 45°

Идея решения

Опустим высоту из конца диагонали на большее основание. Горизонтальная проекция диагонали равна полусумме оснований. В полученном прямоугольном треугольнике угол 45°, поэтому высота равна этой проекции.

Основания
22 и 55
Угол диагонали с основанием
45∘45^\circ
Найти
высоту CH

Опускаем высоту из C

Пусть AD — большее основание, BC — меньшее. Проведём CH перпендикулярно AD. Треугольник ACH прямоугольный, а угол CAH равен 45°.

  • AH = (AD + BC) / 2
  • CH = h
  • ∠CAH = 45°
∠AHC\angle AHC=90∘,∠CAH=90^\circ,\quad\angle CAH
=45∘=45^\circ

Диагональ AC и высота CH образуют прямоугольный треугольник с равными катетами AH и CH

Диагональ AC и высота CH образуют прямоугольный треугольник с равными катетами AH и CH.
Обозначения на чертеже
  • AH = (AD + BC) / 2
  • CH = h
  • ∠CAH = 45°
Диагональ AC и высота CH образуют прямоугольный треугольник с равными катетами AH и CH.
Открыть схему крупнее ↗

Находим выступ HD

Разность оснований делится поровну между двумя выступами.

  • AH = (AD + BC) / 2
HDHD=AD−BC2=\frac{AD-BC}{2}
HDHD=5−22=\frac{5-2}{2}
=32=\frac{3}{2}
=1,5=1{,}5

Находим горизонтальный катет AH

От всего большего основания отнимаем правый выступ HD.

  • AH = (AD + BC) / 2
AHAH=AD=AD−HD-HD
AHAH=5=5−1,5-1{,}5
=3,5=3{,}5

Эта величина равна (AD + BC)/2; это полусумма, а не полуразность.

Получаем высоту

В прямоугольном треугольнике ACH один острый угол равен 45°, второй тоже 45°. Поэтому катеты AH и CH равны.

  • AH = (AD + BC) / 2
  • CH = h
CHCH=AH=AH
=3,5=3{,}5

Проверяем разложение основания

Проекция диагонали AH и выступ HD вместе должны составлять AD.

  • AH = (AD + BC) / 2
3,53{,}5+1,5+1{,}5=5=5

Получили длину большего основания.

Записываем ответ

Мы нашли искомую длину. В поле ответа переносим только число.

3,53{,}5

Ответ: 3,5. Если есть дробная часть, можно использовать запятую или точку.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаВысота трапеции по диагонали под углом 45°
Ответ3,53{,}5

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Проведите высоту CH.
  2. Найдите выступ HD.
  3. Вычтите его из AD, чтобы получить AH.
  4. Используйте угол CAH = 45° и равенство катетов.
  5. Проверьте разложение основания.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Выступы большего основания у равнобедренной трапеции равны.
  • Каждый выступ равен половине разности оснований.
  • Проекция AC на AD — отрезок AH.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Здесь угол 45° образован диагональю, а не боковой стороной.
  • Поэтому высота равна полусумме оснований, а не полуразности.
  • Не применяйте формулу площади: требуется длина высоты.
Все задания №17 (316)