Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ 445161301 из 316

Угол между высотой и большей диагональю ромба

Один из углов ромба равен 150°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Рисунок к заданию 17 ФИПИ 445161

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 445161.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 75.

Что нужно найти

Угол между высотой и большей диагональю ромба

Идея решения

Найдём острый угол ромба. Большая диагональ делит его пополам, поэтому известен наклон диагонали к основанию. Высота перпендикулярна основанию: искомый острый угол дополняет этот наклон до 90°.

Один угол ромба
150∘150^\circ
Найти
угол высоты с большей диагональю

Определяем острый угол

Большая диагональ AC соединяет острые вершины A и C. Данный угол тупой, поэтому сначала найдём соседний острый.

  • AC — большая диагональ
∠A\angle A=180=180−150-150
=30∘=30^\circ

P — пересечение высоты BH и большей диагонали AC

P — пересечение высоты BH и большей диагонали AC. Искомый угол дополняет половину угла A до 90°.
Обозначения на чертеже
  • AC — большая диагональ
  • BH ⟂ AD — высота
  • ∠CAD = ∠A / 2
  • ∠BPC — искомый угол
P — пересечение высоты BH и большей диагонали AC. Искомый угол дополняет половину угла A до 90°.
Открыть схему крупнее ↗

Находим наклон диагонали к основанию

Диагональ AC — биссектриса угла A. Значит, угол CAD равен половине полного острого угла.

  • AC — большая диагональ
  • ∠CAD = ∠A / 2
∠CAD\angle CAD=302=\frac{30}{2}
=15∘=15^\circ

Связываем высоту и основание

Проведём высоту BH перпендикулярно AD. Пусть P — пересечение BH и AC. В прямоугольном треугольнике AHP угол при A равен CAD, поэтому угол APH дополняет его до 90°. Вертикальный ему угол BPC — искомый.

  • AC — большая диагональ
  • BH ⟂ AD — высота
  • ∠CAD = ∠A / 2
∠APH\angle APH=90∘=90^\circ−∠CAD-\angle CAD
∠BPC\angle BPC=∠APH=\angle APH

Вычисляем искомый угол

Из прямого угла вычитаем половину острого угла ромба.

  • ∠BPC — искомый угол
∠BPC\angle BPC=90=90−15-15
=75∘=75^\circ

Проверяем

Найденный угол и наклон диагонали к основанию должны в сумме дать 90°.

7575+15+15=90∘=90^\circ

Записываем ответ

Мы нашли искомый угол в градусах. В поле ответа переносим только число.

7575

Ответ: 75. Знак градуса в поле ответа не нужен.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаУгол между высотой и большей диагональю ромба
Ответ75∘75^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите острый угол ромба.
  2. Разделите его пополам — получите угол диагонали с основанием.
  3. Вычтите этот угол из 90°.
  4. Проверьте сумму до прямого угла.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Соседние углы ромба дают 180°.
  • Большая диагональ соединяет острые вершины.
  • При пересечении диагонали с высотой меньший угол равен 90° минус наклон диагонали к основанию.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Если дан тупой угол, сначала найдите соседний острый.
  • Большая диагональ делит пополам именно острый угол.
  • Высота перпендикулярна основанию, а не обязательно диагонали.
Все задания №17 (316)