Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 17 · ФИПИ 84D692149 из 316

Острый угол между диагоналями прямоугольника

Диагональ прямоугольника образует угол 61°  с одной
из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к заданию 17 ФИПИ 84D692

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 84D692.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 58.

Что нужно найти

Острый угол между диагоналями прямоугольника

Идея решения

Сначала найдём меньший угол диагонали с одной из двух соседних сторон. Две диагонали наклонены к этой стороне под одинаковыми углами, поэтому острый угол между ними равен удвоенному меньшему углу.

Угол диагонали со стороной
61∘61^\circ
Найти
острый угол между диагоналями

Разделяем прямой угол

Две соседние стороны прямоугольника перпендикулярны. Поэтому угол диагонали с другой стороной дополняет данный до 90°.

9090−61-61=29∘=29^\circ

Зелёной дугой отмечен именно острый угол между диагоналями

Зелёной дугой отмечен именно острый угол между диагоналями. Данный угол у стороны отмечен оранжевым.
Обозначения на чертеже
  • ∠CAD = 61°
  • Острый угол при O — искомый
  • AO = BO = CO = DO
Зелёной дугой отмечен именно острый угол между диагоналями. Данный угол у стороны отмечен оранжевым.
Открыть схему крупнее ↗

Выбираем меньший наклон

Из 61° и 29° берём меньший угол δ = 29°. Он меньше 45°.

δ\delta=29∘=29^\circ

Рассматриваем равнобедренный треугольник

Обозначим пересечение диагоналей O. Все их половины равны. Выберем сторону прямоугольника, с которой диагональ образует δ. У равнобедренного треугольника на этой стороне оба угла при основании равны δ, поэтому тупой угол при O равен 180° − 2δ.

β\beta=180∘=180^\circ−2δ-2\delta

Находим соседний острый угол

Острый угол α дополняет β до 180°. Подставляем β: после вычитания остаётся 2δ.

α\alpha=180∘=180^\circ−(180∘−2δ)-(180^\circ-2\delta)
=2δ=2\delta
α\alpha=2=2⋅29\cdot29
=58∘=58^\circ

Проверяем оба угла

Острый угол меньше 90°. Вычислим соседний тупой и проверим их сумму.

180180−58-58=122∘=122^\circ
5858+122+122=180∘=180^\circ

Записываем ответ

Мы нашли искомый угол в градусах. В поле ответа переносим только число.

5858

Ответ: 58. Знак градуса в поле ответа не нужен.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаОстрый угол между диагоналями прямоугольника
Ответ58∘58^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите второй угол диагонали со стороной: 90° − φ.
  2. Выберите меньший из двух углов.
  3. Используйте равнобедренный треугольник у пересечения диагоналей.
  4. Найдите острый угол.
  5. Проверьте сумму с соседним тупым углом.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагональ делит прямой угол на части φ и 90° − φ.
  • Половины диагоналей прямоугольника равны.
  • Соседние углы при пересечении двух прямых дают 180°.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Удвоение данного угла может дать тупой угол; требуется именно острый.
  • Если данный угол больше 45°, сначала найдите его дополнение до 90°.
  • Не предполагайте, что диагонали прямоугольника перпендикулярны.
Все задания №17 (316)