Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!ВойтиЧерез VK ID

Меню

ЕГЭ · ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Задание 15: 66 заданий ФИПИ

Многогранники и сечения · Тела и поверхности вращения. Все задания снабжены ссылкой на открытую карточку ФИПИ. Для 48 заданий найдено точное соответствие в указанных банках: опубликовано 60 примеров решений. Похожие варианты с другими числами не использованы.

Добавить в вариант

1

Многогранники и сеченияFIPI ID 30ED04

В основании правильной треугольной пирамиды $A BC D$ лежит треугольник $A BC$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка $T$ так, что $A T : T D = 2 : 1$ . Через точку Т параллельно прямым $A C$ и $B D$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

Решать →

2

Многогранники и сеченияFIPI ID 149319

В основании правильной треугольной пирамиды $A BC D$ лежит треугольник $A BC$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка $T$ так, что $A T : T D = 1 : 2$ . Через точку Т параллельно прямым $A C$ и $B D$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

Решать →

3

Многогранники и сеченияFIPI ID F7B7A1

В основании прямой треугольной призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный ( $A B = BC$ ) треугольник $A BC$ . Точка $K$ $-$ середина ребра $A_{1} B_{1}$ , а точка $M$ делит ребро $A C$ в отношении $A M : MC = 1 : 3$ . а) Докажите, что $K M ⊥ A C$ . б) Найдите угол между прямой $K M$ и плоскостью $A B B_{1}$ , если $A B = 6$ , $A C = 8$ и $A A_{1} = 3$ .

Решать →

4

Многогранники и сеченияFIPI ID E95564

На ребре $A A_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ взята точка $E$ так, что $A_{1} E : E A = 1 : 2$ , на ребре $B B_{1}$ $-$ точка $F$ так, что $B_{1} F : FB = 1 : 5$ , а точка Т $-$ середина ребра $B_{1} C_{1}$ . Известно, что $A B = 2$ , $A D = 6$ , $A A_{1} = 6$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_{1}$ . б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $A A_{1} B_{1}$ .

Решать →

5

Многогранники и сеченияFIPI ID EA6B32

В основании пирамиды $S A BC D$ лежит прямоугольник $A BC D$ со стороной $A B = 5$ и диагональю $B D = 9$ . Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали $B D$ основания $A BC D$ отмечена точка $E$ , а на ребре $A S$ $-$ точка $F$ так, что $SF = BE = 4$ . а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$ . б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $S D$ в точке $Q$ . Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $A BC$ .

Решать →

6

Многогранники и сеченияFIPI ID 03B44B

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ сторона основания $A B$ равна 8, а боковое ребро $S A$ равно 7. На рёбрах $A B$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 2$ , $S K = 1$ . а) Докажите, что плоскость $C K M$ перпендикулярна плоскости $A BC$ . б) Найдите объём пирамиды $BC K M$ .

Решать →

7

Многогранники и сеченияFIPI ID 04294C

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ с основанием $A BC D$ точка $O$ $-$ центр основания пирамиды, точка $M$ $-$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $B K : K C = 3 : 1,$ а $A B = 2$ и $SO = 14 .$ а) Докажите, что плоскость $OM K$ параллельна прямой $S A .$ б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OM K$ пересекает грань $S A D .$

Решать →

8

Тела и поверхности вращенияFIPI ID C84642

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания $-$ точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а $A C$ $-$ диаметр основания. Известно, что $∠ A CB = 4 5^{\circ}$ , $A B = 23$ , $C C_{1} = 26$ . а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $BC$ равен $6 0^{\circ}$ . б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1}$ .

Решать →

9

Тела и поверхности вращенияFIPI ID 6B5C41

Различные точки $A,$ $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$ так, что отрезок $A B$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $6 0^{\circ} .$ а) Докажите, что $cos ∠ A SC + cos ∠ BSC = 1, 5.$ б) Найдите объём тетраэдра $S A BC,$ если $SC = 1,$ $cos ∠ A SC = \frac{2}{3} .$

Решать →

10

Многогранники и сеченияFIPI ID 8EEB4F

В основании пирамиды $S A BC D$ лежит трапеция $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC,$ равными 8 и 3 соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $S D$ и $BC$ соответственно, причём $SM : M D = 3 : 2,$ $BN : NC = 1 : 2.$ Плоскость $A MN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K .$ а) Докажите, что $S K : K C = 6 : 1.$ б) Плоскость $A MN$ делит пирамиду $S A BC D$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Решать →

11

Многогранники и сеченияFIPI ID 8A0B46

Сечением прямоугольного параллелепипеда $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью $α$ , содержащей прямую $B D_{1}$ и параллельной прямой $A C$ , является ромб. а) Докажите, что грань $A BC D$ $-$ квадрат. б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $BC C_{1}$ , если $A A_{1} = 10$ , $A B = 12$ .

Решать →

12

Многогранники и сеченияFIPI ID 7EE2FA

На рёбрах $BC,$ $A B$ и $A D$ правильного тетраэдра $A BC D$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $B L : L C = A M : MB = A N : N D = 1 : 2.$ а) Докажите, что плоскость $α,$ проходящая через точки $L,$ $M,$ $N,$ делит ребро $C D$ в отношении $2 : 1,$ считая от вершины $C .$ б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A BC D$ плоскостью $α,$ если $A B = 6.$

Решать →

13

Многогранники и сеченияFIPI ID 182CF4

В основании пирамиды $S A BC D$ лежит трапеция $A BC D$ с большим основанием $A D .$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O .$ Точки $M$ и $N$ $-$ середины боковых сторон $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO .$ а) Докажите, что сечение пирамиды $S A BC D$ плоскостью $α$ является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A BC D$ плоскостью $α$ , если $A D = 10,$ $BC = 8,$ $SO = 8,$ а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $A D .$

Решать →

14

Многогранники и сеченияFIPI ID 9A3AF9

В правильной шестиугольной пирамиде $S A BC D EF$ сторона основания $A B$ равна 2, а боковое ребро $S A$ равно 8. Точка $M$ — середина ребра $A B$ . Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $A BC$ и содержит точки $M$ и $D$ . Прямая $SC$ пересекает плоскость $α$ в точке $K$ . а) Докажите, что $K M = KD$ . б) Найдите объём пирамиды $C DK M$ .

Решать →

15

Многогранники и сеченияFIPI ID 6BFFF1

В правильной треугольной призме $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ все рёбра равны 4. Точка $K$ $-$ середина ребра $A_{1} B_{1} .$ а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $A K C$ является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $A K C .$

Решать →

16

Тела и поверхности вращенияFIPI ID 416B0F

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания $-$ точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причём $B B_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а отрезок $A C_{1}$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $A B C_{1}$ прямой. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $A B = 20$ , $B B_{1} = 15$ , $B_{1} C_{1} = 21$ .

Решать →

17

Многогранники и сеченияFIPI ID 065E0A

В правильной шестиугольной пирамиде $S A BC D EF$ сторона основания $A B$ равна 5, а боковое ребро $S A$ равно 9. Точка $M$ лежит на ребре $A B$ , $A M = 1$ , а точка $K$ лежит на ребре $SC$ . Известно, что $M K = KD$ . а) Докажите, что плоскость $DK M$ перпендикулярна плоскости $A BC$ . б) Найдите площадь треугольника $DK M$ .

Решать →

18

Многогранники и сеченияFIPI ID 727800

В правильной треугольной призме $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ известно, что $A B = 2.$ Плоскость $α$ проходит через вершины $A_{1}$ и $B$ и середину $M$ ребра $C C_{1} .$ а) Докажите, что сечение призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α$ является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $α$ равна $6.$

Решать →

19

Многогранники и сеченияFIPI ID B19404

В правильной шестиугольной пирамиде $S A BC D EF$ точки $M$ и $K$ $-$ середины боковых рёбер $S A$ и $S D$ соответственно. а) Докажите, что прямые $BM$ и $C K$ лежат в одной плоскости. б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 8,$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды равен $4 5^{\circ} .$

Решать →

20

Тела и поверхности вращенияFIPI ID 13D60B

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания $-$ точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причём $B B_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а отрезок $A C_{1}$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $A B C_{1}$ прямой. б) Найдите объём цилиндра, если $A B = 7$ , $B B_{1} = 24$ , $B_{1} C_{1} = 10$ .

Решать →

21

Многогранники и сеченияFIPI ID ED4407

В основании прямой призмы $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит параллелограмм $A BC D$ с углом $6 0^{\circ}$ при вершине $A .$ На рёбрах $A_{1} B_{1},$ $B_{1} C_{1}$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $A M K N$ $-$ равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2. а) Докажите, что точка $M$ $-$ середина ребра $A_{1} B_{1} .$ б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_{1} C_{1}$ в отношении $B_{1} K : K C_{1} = 2 : 3.$

Решать →

22

Многогранники и сеченияFIPI ID 3C8708

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ сторона основания $A B$ равна 8, а боковое ребро $S A$ равно 7. На рёбрах $A B$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 2$ , $S K = 1$ . Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $A BC$ и содержит точки $M$ и $K$ . а) Докажите, что плоскость $α$ содержит точку $C$ . б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A BC D$ плоскостью $α$ .

Решать →

23

Тела и поверхности вращенияFIPI ID D7147A

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания $-$ точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а $A C$ $-$ диаметр основания. Известно, что $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ , $A B = 2$ , $C C_{1} = 2$ . а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $BC$ равен $4 5^{\circ}$ . б) Найдите объём цилиндра.

Решать →

24

Многогранники и сеченияFIPI ID C3497C

В правильной треугольной пирамиде $S A BC$ сторона основания $A B$ равна 6, а боковое ребро $S A$ равно $43 .$ Точки $M$ и $N$ $-$ середины рёбер $S A$ и $SB$ соответственно. Плоскость $α$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость $α$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5 : 1,$ считая от точки $C .$ б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды $S A BC$ плоскостью $α .$

Решать →

25

Многогранники и сеченияFIPI ID 4679B2

В правильной треугольной пирамиде $S A BC$ сторона основания $A B$ равна 6, а боковое ребро $S A$ равно $21$ . На рёбрах $A B$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 4$ , $S K : K B = 1 : 3$ . а) Докажите, что плоскость $C K M$ перпендикулярна плоскости $A BC$ . б) Найдите объём пирамиды $BC K M$ .

Решать →

26

Многогранники и сеченияFIPI ID DBF6BE

В правильной шестиугольной пирамиде $S A BC D EF$ точки $M$ и $K$ $-$ середины боковых рёбер $S A$ и $S D$ соответственно. а) Докажите, что прямые $BC$ и $M K$ параллельны. б) Найдите объём пирамиды $M A BF,$ если $A B = 12,$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $S A BC D EF$ равен $3 0^{\circ} .$

Решать →

27

Многогранники и сеченияFIPI ID 454D16

В правильной шестиугольной пирамиде $S A BC D EF$ точки $M$ и $K$ $-$ середины боковых рёбер $S A$ и $S D$ соответственно. а) Докажите, что прямые $BC$ и $M K$ параллельны. б) Найдите объём пирамиды $M A BF,$ если $A B = 8,$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $S A BC D EF$ равен $4 5^{\circ} .$

Решать →

28

Многогранники и сеченияFIPI ID 16C715

Дана правильная четырёхугольная призма $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$ Плоскость $α$ проходит через вершины $B_{1}$ и $D$ и пересекает рёбра $A A_{1}$ и $C C_{1}$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M B_{1} KD$ $-$ ромб. а) Докажите, что точка $M$ $-$ середина ребра $A A_{1} .$ б) Найдите высоту призмы $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1},$ если площадь её основания $A BC D$ равна 3, а площадь ромба $M B_{1} KD$ равна 6.

Решать →

29

Многогранники и сеченияFIPI ID 5F0C14

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ точка $M$ $-$ середина ребра $A B .$ Через точку $M$ проведена плоскость $α,$ параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $S D$ в точке $K .$ а) Докажите, что $K$ $-$ середина ребра $S D .$ б) Найдите объём пирамиды $S A BC D,$ если $A B = 24,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $3 0^{\circ} .$

Решать →

30

Многогранники и сеченияFIPI ID 5D991D

В пирамиде $A BC D$ рёбра $D A$ , $D B$ и $D C$ попарно перпендикулярны, а $A B = BC = A C = 62$ . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах $D A$ и $D C$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $D M : M A = D N : NC = 1 : 2$ . Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$ .

Решать →

31

Многогранники и сеченияFIPI ID 33A81C

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ через ребро $A B$ провели плоскость $α$ , образующую сечение $A BMN,$ где точки $M$ и $N$ $-$ точки пересечения плоскости $α$ с боковыми рёбрами $SC$ и $S D$ соответственно. Известно, что $A B = BM = A N = 5 MN .$ а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $S D$ в отношении $1 : 4,$ считая от вершины $S .$ б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $A BC D$ и плоскостью $α .$

Решать →

32

Многогранники и сеченияFIPI ID 72412D

В основании прямой призмы $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит равнобедренная трапеция $A BC D$ с основаниями $A D = 3$ и $BC = 2.$ Точка $M$ делит ребро $A_{1} D_{1}$ в отношении $A_{1} M : M D_{1} = 1 : 2,$ а точка $K$ $-$ середина ребра $D D_{1} .$ а) Докажите, что плоскость $M K C$ параллельна прямой $B D .$ б) Найдите тангенс угла между плоскостью $M K C$ и плоскостью основания призмы, если $∠ M K C = 9 0^{\circ},$ $∠ A D C = 6 0^{\circ} .$

Решать →

33

Многогранники и сеченияFIPI ID 55B421

В правильной треугольной призме $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A_{1} M = 2 M A,$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$ а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$ б) Найдите площадь сечения призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все рёбра призмы равны $12.$

Решать →

34

Многогранники и сеченияFIPI ID EFF32E

Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости основания $A BC D$ правильной четырёхугольной пирамиды $S A BC D$ и пересекает ребро $S A$ в точке $K .$ Сечение пирамиды плоскостью $α$ является правильным треугольником площадью $43 .$ а) Докажите, что плоскость $α$ перпендикулярна прямой $A C .$ б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $S A,$ считая от точки $S,$ если объём пирамиды равен $183 ?$

Решать →

35

Многогранники и сеченияFIPI ID 0E8DDE

В правильном тетраэдре $A BC D$ точки $M$ и $N$ $-$ середины рёбер $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K .$ а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $A B$ и $C D .$ б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A BC D$ плоскостью $α,$ если известно, что $B K = 1,$ $K C = 3.$

Решать →

36

Многогранники и сеченияFIPI ID 142CDC

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ сторона основания $A B$ равна 6, а боковое ребро $S A$ равно 7. На рёбрах $C D$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $D N : NC = S K : K C = 1 : 2$ . Плоскость $α$ содержит прямую $K N$ и параллельна прямой $BC$ . а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A$ . б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $SBC$ .

Решать →

37

Многогранники и сеченияFIPI ID C185DD

Основанием четырёхугольной пирамиды $S A BC D$ является прямоугольник $A BC D$ , причём $A B = 22$ , $BC = 4$ . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $A P$ и $CQ$ на ребро $SB$ . а) Докажите, что $P$ $-$ середина отрезка $BQ$ . б) Найдите угол между гранями $SB A$ и $SBC$ , если $S D = 4$ .

Решать →

38

Многогранники и сеченияFIPI ID C300DC

В прямоугольном параллелепипеде $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 62$ , $A D = 10$ , $A A_{1} = 16$ . На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_{1} E : E A = 5 : 3$ и $B_{1} F : FB = 5 : 11$ . Точка $T$ $-$ середина ребра $B_{1} C_{1}$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_{1}$ . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$ .

Решать →

39

Многогранники и сеченияFIPI ID 616CD3

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $S A BC D$ с основанием $A BC D$ равны 4. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $S A$ и проходящая через точку $O,$ пересекает рёбра $SC$ и $S D$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $S D$ в отношении $SN : N D = 1 : 3.$ а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC .$ б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC .$

Решать →

40

Многогранники и сеченияFIPI ID 876DD3

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ сторона основания $A B$ равна 4, а боковое ребро $S A$ равно 7. На рёбрах $C D$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $D N : NC = S K : K C = 1 : 3$ . Плоскость $α$ содержит прямую $K N$ и параллельна прямой $BC$ . а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A$ . б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $SBC$ .

Решать →

41

Многогранники и сеченияFIPI ID 429E53

В пирамиде $A BC D$ рёбра $D A$ , $D B$ и $D C$ попарно перпендикулярны, а $A B = BC = A C = 52$ . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах $D A$ и $D C$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $D M : M A = D N : NC = 2 : 3$ . Найдите площадь сечения $MNB$ .

Решать →

42

Многогранники и сеченияFIPI ID F416AF

В правильной треугольной призме $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ сторона $A B$ основания равна 6, а боковое ребро $A A_{1}$ равно 4. На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $A M = BN = 3$ . а) Точки $O$ и $O_{1}$ — центры окружностей, описанных около треугольников $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ соответственно. Докажите, что прямая $O O_{1}$ содержит точку пересечения медиан треугольника $CMN$ . б) Найдите расстояние от точки $C_{1}$ до плоскости $CMN$ .

Решать →

43

Многогранники и сеченияFIPI ID 0B28A5

В прямоугольном параллелепипеде $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ через середину $M$ диагонали $A C_{1}$ проведена плоскость $α$ перпендикулярно этой диагонали, $A B = 5,$ $BC = 3,$ $A A_{1} = 4.$ а) Докажите, что плоскость $α$ содержит точку $D_{1} .$ б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит ребро $A_{1} B_{1} .$

Решать →

44

Многогранники и сеченияFIPI ID E8E9A7

В прямоугольном параллелепипеде $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 22$ , $A D = 6$ , $A A_{1} = 10$ . На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_{1} E : E A = 3 : 2$ и $B_{1} F : FB = 3 : 7$ . Точка $T$ $-$ середина ребра $B_{1} C_{1}$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_{1}$ . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$ .

Решать →

45

Тела и поверхности вращенияFIPI ID E8FAA5

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания $-$ точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а $A C$ $-$ диаметр основания. Известно, что $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ , $A B = 1$ , $C C_{1} = 22$ . а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $BC$ равен $6 0^{\circ}$ . б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решать →

46

Многогранники и сеченияFIPI ID 82F7A1

В основании прямой призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $A BC$ с основанием $A B .$ Точка $P$ делит ребро $A B$ в отношении $A P : PB = 1 : 3,$ а точка $Q$ $-$ середина ребра $A_{1} C_{1} .$ Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $α,$ перпендикулярную отрезку $PQ .$ а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна ребру $A B .$ б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит отрезок $PQ,$ считая от точки $P,$ если известно, что $A B = A A_{1},$ $A B : BC = 2 : 5.$

Решать →

47

Многогранники и сеченияFIPI ID 5C14CA

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ известно, что $A B = 1.$ Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $α .$ а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершины $B$ и $D .$ б) В каком отношении плоскость $α$ делит ребро $SC,$ считая от вершины $S,$ если площадь сечения равна $\frac{2}{3} ?$

Решать →

48

Многогранники и сеченияFIPI ID CE2EC7

В правильной треугольной призме $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ все рёбра равны, на ребре $A A_{1}$ отмечена точка $M .$ Известно, что $A M = 2 M A_{1} .$ Через точки $M$ и $C_{1}$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$ а) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $A_{1} B_{1}$ пополам. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α$ равна $39 .$

Решать →

49

Тела и поверхности вращенияFIPI ID 77C190

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания $-$ точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причём $B B_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а отрезок $A C_{1}$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $A B C_{1}$ прямой. б) Найдите угол между прямыми $B B_{1}$ и $A C_{1}$ , если $A B = 6$ , $B B_{1} = 15$ , $B_{1} C_{1} = 8$ .

Решать →

50

Многогранники и сеченияFIPI ID 9B8297

Основанием четырёхугольной пирамиды $P A BC D$ является трапеция $A BC D$ , причём $∠ B A D + ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ . Плоскости $P A B$ и $PC D$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ $-$ точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ . а) Докажите, что плоскости $P A B$ и $PC D$ перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды $K BCP$ , если $A B = BC = C D = 4$ , а высота пирамиды $P A BC D$ равна 9.

Решать →

51

Тела и поверхности вращенияFIPI ID 8EBB9F

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания $-$ точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причём $B B_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а отрезок $A C_{1}$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $A B C_{1}$ прямой. б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1}$ , если $A B = 21$ , $B B_{1} = 12$ , $B_{1} C_{1} = 16$ .

Решать →

52

Многогранники и сеченияFIPI ID 0549EB

В основании прямой призмы $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит параллелограмм $A BC D .$ На рёбрах $A_{1} B_{1},$ $B_{1} C_{1}$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1} K : K C_{1} = 1 : 2.$ Четырёхугольник $A M K N$ $-$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка $N$ $-$ середина ребра $BC .$ б) Найдите площадь трапеции $A M K N,$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

Решать →

53

Многогранники и сеченияFIPI ID 1D76E2

Точка $M$ $-$ середина ребра $S A$ правильной четырёхугольной пирамиды $S A BC D$ с основанием $A BC D .$ Точка $N$ лежит на ребре $SB,$ $SN : NB = 1 : 2.$ а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $S D .$ б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A BC D$ плоскостью $CMN,$ если все рёбра пирамиды равны 6.

Решать →

54

Многогранники и сеченияFIPI ID 1F7CE6

На рёбрах $A B$ и $BC$ треугольной пирамиды $A BC D$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $A M : MB = CN : NB = 1 : 2$ . Точки $P$ и $Q$ $-$ середины рёбер $D A$ и $D C$ соответственно. а) Докажите, что точки $P$ , $Q$ , $M$ и $N$ лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

Решать →

55

Многогранники и сеченияFIPI ID A47BE8

В кубе $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ точки $M$ и $N$ $-$ середины рёбер $A B$ и $A D$ соответственно. а) Докажите, что прямые $B_{1} N$ и $CM$ перпендикулярны. б) Плоскость $α$ проходит через точки $N$ и $B_{1}$ параллельно прямой $CM .$ Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $α,$ если $B_{1} N = 6.$

Решать →

56

Многогранники и сеченияFIPI ID 69A4ED

В правильном тетраэдре $A BC D$ все рёбра равны 6. На рёбрах $A B$ и $A D$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $A M = A K = 4.$ а) Докажите, что плоскость $CM K$ делит тетраэдр $A BC D$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5 : 4.$ б) Найдите косинус угла между прямой $A C$ и плоскостью $CM K .$

Решать →

57

Многогранники и сеченияFIPI ID DE9364

Точка $M$ $-$ середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $S A BC D .$ Точка $N$ лежит на стороне основания $BC .$ Плоскость $α$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $S A .$ а) Плоскость $α$ пересекает боковое ребро $S D$ в точке $L .$ Докажите, что $BN : NC = D L : L S .$ б) Плоскость $α$ делит пирамиду $S A BC D$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если $BN : NC = 1 : 3.$

Решать →

58

Многогранники и сеченияFIPI ID C87061

В основании прямой призмы $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит равнобедренная трапеция $A BC D$ с основаниями $A D = 3$ и $BC = 2.$ Точка $M$ делит ребро $A_{1} D_{1}$ в отношении $A_{1} M : M D_{1} = 1 : 2,$ а точка $K$ $-$ середина ребра $D D_{1} .$ а) Докажите, что плоскость $M K C$ делит отрезок $B B_{1}$ пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $M K C,$ если $∠ M K C = 9 0^{\circ},$ $∠ A D C = 6 0^{\circ} .$

Решать →

59

Многогранники и сеченияFIPI ID 6F3F6D

На ребре $S D$ правильной четырёхугольной пирамиды $S A BC D$ с основанием $A BC D$ отмечена точка $M$ , причём $SM : M D = 2 : 1$ . Точки $P$ и $Q$ $-$ середины рёбер $BC$ и $A D$ соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.

Решать →

60

Многогранники и сеченияFIPI ID 17B23F

Сечением прямоугольного параллелепипеда $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью $α$ , содержащей прямую $B D_{1}$ и параллельной прямой $A C$ , является ромб. а) Докажите, что грань $A BC D$ $-$ квадрат. б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $BC C_{1}$ , если $A A_{1} = 6$ , $A B = 4$ .

Решать →

61

Многогранники и сеченияFIPI ID A2B731

На рёбрах $A C,$ $A D,$ $B D$ и $BC$ тетраэдра $A BC D$ отмечены точки $K,$ $L,$ $M$ и $N$ соответственно, причём $A K : K C = 2 : 3.$ Четырёхугольник $K L MN$ $-$ квадрат со стороной 2. а) Докажите, что прямые $A B$ и $C D$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $K L M,$ если объём тетраэдра $A BC D$ равен 25.

Решать →

62

Многогранники и сеченияFIPI ID FA228B

В основании прямой призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $A BC$ с основанием $A B .$ Точка $P$ делит ребро $A B$ в отношении $A P : PB = 1 : 3,$ а точка $Q$ $-$ середина ребра $A_{1} C_{1} .$ Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $α,$ перпендикулярную отрезку $PQ .$ а) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $A C$ пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит ребро $A_{1} C_{1},$ считая от точки $A_{1},$ если известно, что $A B = A A_{1},$ $A B : BC = 2 : 5.$

Решать →

63

Многогранники и сеченияFIPI ID BCEB84

В правильной треугольной пирамиде $S A BC$ с основанием $A BC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $A B$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $S A$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $M K$ и $N L$ пересекаются, а $A N = 3 NS .$ а) Докажите, что прямые $MN,$ $K L$ и $SB$ пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение $B L : L C .$

Решать →

64

Многогранники и сеченияFIPI ID 135C80

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ точки $M$ и $K$ $-$ середины рёбер $A B$ и $S D$ соответственно. а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $SBC .$ б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 12,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $6 0^{\circ} .$

Решать →

65

Многогранники и сеченияFIPI ID 637C89

В правильной треугольной пирамиде $S A BC$ с основанием $A BC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $A B$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R .$ Прямые $RM$ и $R K$ пересекают рёбра $A S$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $B L = 3 L C .$ а) Докажите, что отрезки $M K$ и $N L$ пересекаются. б) Найдите отношение $A N : NS .$

Решать →

66

Многогранники и сеченияFIPI ID 325286

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ точки $M$ и $K$ $-$ середины рёбер $A B$ и $S D$ соответственно. а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $SBC .$ б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 24,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $3 0^{\circ} .$

Решать →