В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 8, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=2$, $SK=1$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $K$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C$. б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.

а) Боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно,

Проведём высоту пирамиды Так как пирамида правильная, то – точка пересечения диагоналей и квадрата

Проведём Так как точка лежит на прямой её проекция лежит на проекции прямой то есть на прямой

Прямая перпендикулярна и проходит через точку лежащую в плоскости . Поскольку плоскость также перпендикулярна точка также лежит в

По теореме о пропорциональных отрезках для угла имеем:

Пусть Тогда Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. Тогда

Имеем:

Стороны квадрата равны:

Рассмотрим треугольники и Заметим, что

Кроме того, их углы и равны как накрест лежащие при и секущей Значит, треугольники и подобны. Следовательно, равны их соответствующие углы:

Следовательно, точки и лежат на одной прямой, то есть плоскость содержит точку

б) Так как то следовательно, площадь сечения пирамиды плоскостью равна

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Диагональ квадрата равна:

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам:

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Рассмотрим треугольники и Их угол – общий, углы и прямые. Следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Из отношения подобия получаем:

Следовательно, площадь сечения пирамиды плоскостью равна