В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD.$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ $-$ середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO.$ а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=10,$ $BC=8,$ $SO=8,$ а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD.$

а) Пусть и – точки пересечения прямой с диагоналями и соответственно.

В плоскости проведём Так как то точка лежит в плоскости

В плоскости проведём Так как то точка лежит в плоскости

Таким образом, – сечение пирамиды плоскостью Докажем, что – трапеция.

По теореме о пропорциональных отрезках для угла имеем:

По теореме о пропорциональных отрезках для угла имеем:

По теореме о пропорциональных отрезках для угла имеем:

Тогда

Следовательно, по обратной теореме о пропорциональных отрезках для угла прямые и параллельны.

Так как как средняя линия, то

Заметим, что следует, что противоположные стороны четырехугольника параллельны, то есть он является параллелограммом. Следовательно,

Тогда две стороны четырехугольника не равны и параллельны, значит, это трапеция.

б) Так как – средняя линия трапеции, то

Так как – середина а то – средняя линия треугольника Тогда

Так как – середина а то – средняя линия треугольника Тогда

Тогда

Следовательно,

Так как а то Из того, что следует, что

Значит, и – высоты трапеции

Рассмотрим треугольники и Их угол – общий, углы и равны как соответственные углы при и секущей Значит, треугольники и подобны по двум углам. Из отношения подобия получаем:

Тогда

Рассмотрим треугольники и Их угол – общий, углы и равны как соответственные углы при и секущей Значит, треугольники и подобны по двум углам. Из отношения подобия получаем:

Следовательно, искомая площадь равна