Задание 3 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В основании прямой треугольной призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный ( $A B = BC$ ) треугольник $A BC$ . Точка $K$ $-$ середина ребра $A_{1} B_{1}$ , а точка $M$ делит ребро $A C$ в отношении $A M : MC = 1 : 3$ . а) Докажите, что $K M ⊥ A C$ . б) Найдите угол между прямой $K M$ и плоскостью $A B B_{1}$ , если $A B = 6$ , $A C = 8$ и $A A_{1} = 3$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F7B7A1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ F7B7A1 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Пусть

H

- середина

AB

KH \perp AB

, и

T

- середина

AC

BT \perp AC

, так как

ABC

- равнобедренный треугольник (

BT

- высота и медиана

\triangle ABC

). Пусть

AM = x

MC = 3x

, тогда

TC = \frac{AC}{2}=\frac{4x}{2}=2x

MT = MC - TC=3x-2x=x

, т.е.

M

- середина

AT

Схема к решению стереометрической задачи

По обратной теореме Фалеса

MH \parallel BT

, так как

\frac{AM}{MT}= \frac{AH}{HB}=\frac{1}{1}

, следовательно

MH \perp AC

. В итоге получаем, что

MK

- наклонная, а

MH

- проекция наклонной

MK

на плоскость

ABC

, тогда по теореме о трёх перпендикулярах

MK \perp AC

. б) Опустим перпендикуляр

MN

на плоскость

ABB_1

, так как призма прямая, то

ABC \perp ABB_1

, значит

N \in AB

, тогда

\angle NKM

- искомый.

AM = \frac{AC}{4}=2

AH = \frac{AB}{2}=3

, тогда по теореме Пифагора для

\triangle AMH

MH = \sqrt{AH^2-AM^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}

Рассмотрим

\triangle AMH

MN

- высота, тогда

MN = \frac{AM \cdot MH}{AH}=\frac{2\sqrt{5}}{3}

По теореме Пифагора для

\triangle MHK

MK = \sqrt{MH^2+HK^2}= \sqrt{9+5}=\sqrt{14}

Тогда

\sin \angle NKM = \frac{MN}{MK}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}} \Rightarrow \angle NKM = \arcsin \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}

Ответ: б)

\arcsin \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}

Ответ: б)

\arcsin \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ABCD O — M — SC, K BC BK:KC=3:1, AB=2…FIPI ID 04294C

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена