В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=4$, $SK:KB=1:3$. а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.

а) Проведем В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник Его высота также является медианой, то есть

Пусть пересекает в точке Тогда — линия пересечения плоскостей и Проведем — высоту пирамиды Так как пирамида правильная, то основание высоты совпадает с точкой пересечения медиан треугольника А значит, точка лежит на медиане

Докажем, что тогда из будет следовать, что откуда будет следовать, что

По теореме Менелая для и прямой

Следовательно, Так как то

Так как то по обратной теореме о пропорциональных отрезках Чтд.

б) Объем пирамиды равен

Из пункта а) следует, что Высота правильного треугольника равна

– точка пересечение медиан треугольника поэтому она делит медиану в отношении Тогда

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Тогда

Так как площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как основания, то

Следовательно,