Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 50 из 66Многогранники и сечения
Линия №15

Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, точка пересечения прямых и . а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 9B8297

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 9B8297 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

а) По условию прямые ABAB и CDCD пересекаются в точке KK, тогда ∠AKD=90∘\angle AKD = 90^\circ, так как ∠BAD+∠ADC=90∘\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ(по условию). При этом PAB⊥ABCPAB \perp ABC и PCD⊥ABCPCD \perp ABC, значит, PK⊥ABCPK \perp ABC, тогда AK⊥PKAK \perp PK и AK⊥DKAK \perp DK. Следовательно, PAB⊥PCDPAB \perp PCD. Что и требовалось доказать. б) ABCDABCD - равнобедренная трапеция, так как AB=CDAB = CD, тогда ∠BAD=∠ADC=45∘\angle BAD = \angle ADC = 45^\circ. Значит, △BKC\triangle BKC и △AKD\triangle AKD - прямоугольные и равнобедренные, тогда BK=KC=BC2=42=22BK = KC = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.
Схема к решению стереометрической задачи
Получаем, что VKBCP=13SBKC⋅KP=13⋅12⋅BK2⋅9=16⋅9⋅8=12.V_{KBCP} = \frac{1}{3}S_{BKC}\cdot KP = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot BK^2 \cdot 9 = \frac{1}{6}\cdot 9 \cdot 8 = 12. Ответ: б) 1212.
Ответ: б) 1212.
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
  • Площади, объёмы и расстояния в стереометрии
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать свойство по рисунку без доказательства
  • Перепутать пространственный и линейный угол
  • Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1
    Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
  2. 2
    Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
  3. 3
    Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15
Все задания линии №15 →
Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена