Задание 23 из 66Тела и поверхности вращения

Линия №15 · Повышенный уровень

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания $-$ точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а $A C$ $-$ диаметр основания. Известно, что $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ , $A B = 2$ , $C C_{1} = 2$ . а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $BC$ равен $4 5^{\circ}$ . б) Найдите объём цилиндра.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D7147A

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ D7147A по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Проведём прямую через

A

параллельно прямой

BC

, которая пересекает нижнюю окружность основания цилиндра в точке

B'

, отличной от точки

A

\triangle ABC = \triangle AB'C

по гипотенузе и острому углу:

AC

- общая,

\angle B'AC = \angle ACB = 30^\circ

, следовательно,

BC=AB'

AB = B'C

. При этом

AB'CB

- прямоугольник, значит

AB' \perp B'C

Схема к решению стереометрической задачи

По условию

CC_1

- образующая, то есть

CC_1

перпендикулярно основанию цилиндра,

B'C_1

- наклонная, а

B'C

- проекция

B'C_1

на плоскость нижнего основания, тогда по теореме о трёх перпендикулярах

AB' \perp B'C_1

. Так как

\angle ACB = 30^\circ

, то

AC = 2AB= 2\sqrt{2}

, тогда по теореме Пифагора для

\triangle ABC

BC = \sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}=AB'

По теореме Пифагора для

\triangle B'CC_1

B'C_1 = \sqrt{B'C^2+CC_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}

В итоге получаем, что

\triangle AB'C_1

- прямоугольный и равнобедренный (

AB'=B'C_1=\sqrt{6}

), то есть

\angle B'AC_1 = \angle AC_1B' = 45^\circ

, что и требовалось доказать. б)

V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2h,

где

r = \frac{AC}{2}=\sqrt{2}

h=CC_1=2

, тогда

V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2 = 4\pi

Ответ: б)

4\pi

Ответ: б)

4\pi

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID C84642 Тела и поверхности вращенияРазличные точки A, B C с вершиной S AB 60°. а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5. б) Найдите…FIPI ID 6B5C41 Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 416B0F Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 13D60B Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID E8FAA5 Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 77C190

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена