Задание 23 из 66Тела и поверхности вращения

Линия №15

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания $-$ точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а $A C$ $-$ диаметр основания. Известно, что $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ , $A B = 2$ , $C C_{1} = 2$ . а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $BC$ равен $4 5^{\circ}$ . б) Найдите объём цилиндра.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D7147A

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ D7147A по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Проведём прямую через

A

параллельно прямой

BC

, которая пересекает нижнюю окружность основания цилиндра в точке

B'

, отличной от точки

A

\triangle ABC = \triangle AB'C

по гипотенузе и острому углу:

AC

- общая,

\angle B'AC = \angle ACB = 30^\circ

, следовательно,

BC=AB'

AB = B'C

. При этом

AB'CB

- прямоугольник, значит

AB' \perp B'C

Схема к решению стереометрической задачи

По условию

CC_1

- образующая, то есть

CC_1

перпендикулярно основанию цилиндра,

B'C_1

- наклонная, а

B'C

- проекция

B'C_1

на плоскость нижнего основания, тогда по теореме о трёх перпендикулярах

AB' \perp B'C_1

. Так как

\angle ACB = 30^\circ

, то

AC = 2AB= 2\sqrt{2}

, тогда по теореме Пифагора для

\triangle ABC

BC = \sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}=AB'

По теореме Пифагора для

\triangle B'CC_1

B'C_1 = \sqrt{B'C^2+CC_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}

В итоге получаем, что

\triangle AB'C_1

- прямоугольный и равнобедренный (

AB'=B'C_1=\sqrt{6}

), то есть

\angle B'AC_1 = \angle AC_1B' = 45^\circ

, что и требовалось доказать. б)

V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2h,

где

r = \frac{AC}{2}=\sqrt{2}

h=CC_1=2

, тогда

V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2 = 4\pi

Ответ: б)

4\pi

Ответ: б)

4\pi

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2
Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3
Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID C84642 Тела и поверхности вращенияРазличные точки A, B C с вершиной S AB 60°. а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5. б) Найдите…FIPI ID 6B5C41 Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 416B0F Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 13D60B Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID E8FAA5 Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 77C190

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена