Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 51 из 66Тела и поверхности вращения
Линия №15 · Повышенный уровень

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и , а на окружности другого основания точки и , причём образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол прямой. б) Найдите расстояние от точки до прямой , если , , .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 8EBB9F

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 8EBB9F по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую AC1AC_1. Пусть она пересекает основание цилиндра в точке CC. Получаем, что CC1CC_1 - образующая, а ACAC пересекает ось цилиндра, то есть проходит через центр нижнего основания.
Схема к решению стереометрической задачи
Тогда ACAC - диаметр, а ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ как вписанный и опирающийся на диаметр. CC1⊥ABC⇒CC1⊥ABCC_1 \perp ABC \Rightarrow CC_1 \perp AB. Так как CC1⊥ABCC_1 \perp AB и BC⊥ABBC \perp AB, то AB⊥BCC1AB \perp BCC_1, тогда AB⊥C1B⇒∠ABC1=90∘AB \perp C_1B \Rightarrow \angle ABC_1 = 90^\circ. Что и требовалось доказать. б) Так как BB1C1CBB_1C_1C - прямоугольник (BB1BB_1 и CC1CC_1 - образующие, BB1=CC1BB_1=CC_1, BB1∥CC1BB_1 \parallel CC_1, CC1⊥ABCC_1 \perp AB), то BC=B1C1=16BC = B_1C_1 =16.
Схема к решению стереометрической задачи
По теореме Пифагора в △BCC1\triangle BCC_1: BC1=CC12+BC2=122+162=20BC_1 = \sqrt{CC_1^2 + BC^2} = \sqrt{12^2+16^2}=20. По теореме Пифагора в △ABC1\triangle ABC_1: AC1=AB2+BC12=212+202=29AC_1 = \sqrt{AB^2 + BC_1^2} = \sqrt{21^2+20^2}=29. ρ(B;AC1)=BH\rho(B; AC_1)= BH - высота прямоугольного треугольника ABC1ABC_1, тогда: BH=AB⋅BC1AC1=21⋅2029=42029.BH = \frac{AB \cdot BC_1}{AC_1}=\frac{21 \cdot 20}{29}=\frac{420}{29}. Ответ б) 42029\dfrac{420}{29}.
Ответ: б) 42029\dfrac{420}{29}.
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
  • Площади, объёмы и расстояния в стереометрии
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать свойство по рисунку без доказательства
  • Перепутать пространственный и линейный угол
  • Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
  2. 2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
  3. 3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15
Все задания линии №15 →
Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID C84642Тела и поверхности вращенияРазличные точки A, B C с вершиной S AB 60°. а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5. б) Найдите…FIPI ID 6B5C41Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 416B0FТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 13D60BТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID D7147AТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID E8FAA5
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена