Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$равны 4. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O,$ пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=1:3.$ а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC.$ б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC.$

а) В правильной четырехугольной пирамиде основание является квадратом, тогда — точка пересечения его диагоналей и значит, — середина и

Плоскость пересекает плоскость и параллельна прямой лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость пересекает по прямой, параллельной Таким образом, Следовательно, — средняя линия треугольника так как и — середина Значит, — середина

б) Плоскость пересекает плоскость грани и параллельна прямой лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость пересекает по прямой, параллельной

Пусть — точка пересечения плоскости и ребра Тогда Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках

По условию все ребра пирамиды равны 4. Тогда

Плоскость проходит через точки и следовательно, пересекает плоскость основания по прямой Пусть пересекает в точке

Рассмотрим и В них так как — середина как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей как вертикальные. Значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому Тогда

Так как по условию точка — середина отрезка и то

Нам нужно найти длину отрезка так как по нему плоскость пересекает грань

Все ребра пирамиды равны, поэтому — равносторонний. Тогда По теореме косинусов для