Задание 30 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В пирамиде $A BC D$ рёбра $D A$ , $D B$ и $D C$ попарно перпендикулярны, а $A B = BC = A C = 62$ . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах $D A$ и $D C$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $D M : M A = D N : NC = 1 : 2$ . Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5D991D

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 5D991D по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а)

\triangle DAB = \triangle DBC

(по катету и гипотенузе):

DB

- общий катет,

AB=BC

по условию. Следовательно,

DA=DC

\triangle DAB = \triangle DAC

(по катету и гипотенузе):

DA

- общий катет,

AB=AC

по условию. Следовательно,

DB=DC

. В итоге

DA=DB=DC

, другими словами боковые ребра равны и в основании пирамиды лежит правильный треугольник, следовательно,

DABC

- правильная пирамида.

Схема к решению стереометрической задачи

б) Пусть

CN=AM =2x

DM=DN=x

, тогда по теореме Пифагора для

\triangle DAC

DA^2+DC^2=AC^2 \Leftrightarrow(3x)^2+(3x)^2=(6\sqrt{2})^2

18x^2=72 \Rightarrow x = 2

Найдём объём пирамиды

BDMN

S_{DMN}=\frac{DM \cdot DN}{2}= \frac{2\cdot 2}{2}=2

V_{BDMN}=\frac{1}{3}S_{DMN}\cdot BD=\frac{1}{3}\cdot 2 \cdot 6 = 4

Обозначим искомое расстояние от

D

до плоскости

BMN

за

d

, тогда

V_{DBMN} = \frac{1}{3}S_{BMN}\cdot d \Leftrightarrow d = \frac{3V_{DBMN}}{S_{BMN}}

Найдём площадь

\triangle BMN

По теореме Пифагора для

\triangle DMB

MB = \sqrt{DM^2+DB^2} \Leftrightarrow MB = \sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}

По теореме Пифагора для

\triangle DMN

MN = \sqrt{DM^2+DN^2} \Leftrightarrow MB = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

По теореме Пифагора для

\triangle BTN

BT = \sqrt{BN^2-TN^2} \Leftrightarrow MB = \sqrt{(2\sqrt{10})^2-(\sqrt2)^2}=\sqrt{38}

Тогда

S_{MBN}= \frac{1}{2}BT\cdot MN = \frac{1}{2}\sqrt{38}\cdot 2\sqrt{2}=2\sqrt{19}

В итоге

d = \frac{3\cdot4}{2\sqrt{19}}=\frac{6}{\sqrt{19}}

Ответ: б)

\frac{6}{\sqrt{19}}

Ответ: б)

\dfrac{6}{\sqrt{19}}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена