В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ $-$ точка $F$ так, что $SF=BE=4$. а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$. б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.

а) Продлим до пересечения с в точке Получим отрезок по которому плоскость пересекает грань

Рассмотрим основание пирамиды прямоугольник

Так как то равнобедренный. Его углы при основании равны:

Углы и равны как вертикальные. Углы и равны как накрест лежащие при и секущей Из этого получаем:

Следовательно, тоже равнобедренный и Отсюда

Заметим, что боковые грани и представляют собой равносторонние треугольники со стороной 5. Таким образом, в имеем и следовательно, он также равносторонний. Тогда поскольку и являются соответственными при секущей

Таким образом, в плоскости есть прямая параллельная Следовательно, по признаку плоскость параллельна

б) Так как плоскость то она пересечет плоскость по прямой параллельной В противном случае будет пересекать следовательно, и плоскость будет пересекать

Заметим, что так как все боковые ребра пирамиды равны, то высота упадет в точку пересечения диагоналей основания. Это так, поскольку все треугольники и равны как прямоугольные по катету и гипотенузе, следовательно, и точка будет центром описанной окружности прямоугольника то есть точкой пересечения диагоналей.

Проведем Так как перпендикулярна плоскости то и

Так как точка лежит на прямой её проекция лежит на проекции прямой то есть на прямой

Таким образом, необходимо найти

Рассмотрим Так как то по теореме о пропорциональных отрезках:

Рассмотрим треугольники и Их угол — общий, углы и прямые. Следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Запишем для них отношение подобия:

Найдем из прямоугольного

Тогда окончательно имеем: