В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $-$ центр основания пирамиды, точка $M$ $-$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1,$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$ а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$ б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$

а) По условию – правильная пирамида, поэтому — квадрат. Так как – центр основания то – середина диагонали Тогда – средняя линия треугольника и Следовательно, так как прямая параллельна прямой из этой плоскости.

б) Так как – квадрат, то его стороны равны. Тогда По условию поэтому получаем:

Пусть прямая пересекает ребро в точке

Рассмотрим треугольники и В них так как – середина как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей как вертикальные. Значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда равны и их соответствующие элементы:

Тогда

Значит,

Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью через точку проведём прямую, параллельную эта прямая будет лежать в плоскости Пусть она пересекает ребро в точке Тогда – это сечение пирамиды плоскостью и нам нужно найти отрезок

Диагонали основания и равны поэтому

Мы знаем, что Найдём боковое ребро пирамиды по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника

Тогда так как – правильная пирамида, то

Рассмотрим треугольники и Их угол – общий, углы и равны как соответственные углы при и секущей Значит, треугольники и подобны по двум углам. Из отношения подобия получаем: