Задание 28 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

Дана правильная четырёхугольная призма $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$ Плоскость $α$ проходит через вершины $B_{1}$ и $D$ и пересекает рёбра $A A_{1}$ и $C C_{1}$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M B_{1} KD$ $-$ ромб. а) Докажите, что точка $M$ $-$ середина ребра $A A_{1} .$ б) Найдите высоту призмы $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1},$ если площадь её основания $A BC D$ равна 3, а площадь ромба $M B_{1} KD$ равна 6.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 16C715

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 16C715 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Так как

ABCDA_1B_1C_1D_1

— правильная призма, то

AD = A_1B_1

\angle MA_1B_1 = \angle DAM = 90^\circ

. Так как

MB_1KD

- ромб, то

MD=MB_1

, тогда

\triangle AMD = \triangle MA_1B_1

(по катету и гипотенузе), следовательно,

AM = MA_1

. Что и требовалось доказать.

Схема к решению стереометрической задачи

б) Аналогично из

\triangle CKD = \triangle B_1C_1K \Rightarrow CK = KC_1

. Значит,

MK \parallel AC

MK=AC=BD=AB\sqrt{2}

. По условию

S_{ABCD}=3=AB^2 \Rightarrow AB = \sqrt{3}

, тогда

MK=AC=BD = \sqrt{6}

Также известно, что

S_{MB_1KD} = 6

, тогда:

\frac{1}{2}MK \cdot B_1D = 6; \\ \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot B_1D = 6; \\ B_1D = 2\sqrt{6}.

По теореме Пифагора в

\triangle BB_1D

BB_1 = \sqrt{B_1D^2-BD^2}=\sqrt{24-6}=3\sqrt{2}.

BB_1 = h = 3\sqrt{2}.

Ответ: б)

3\sqrt{2}.

Ответ: б)

3\sqrt{2}.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена