Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!↪ВойтиЧерез VK ID

Меню

Задание 47 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ известно, что $A B = 1.$ Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $α .$ а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершины $B$ и $D .$ б) В каком отношении плоскость $α$ делит ребро $SC,$ считая от вершины $S,$ если площадь сечения равна $\frac{2}{3} ?$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5C14CA

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 5C14CA по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Так как пирамида правильная, то — ее высота, то есть SO ⊥ (ABC ). Значит, – проекция ребра на плоскость (ABC ). В основании правильной пирамиды ABCD лежит квадрат, диагонали которого перпендикулярны, то есть AC ⊥ BD. Тогда по теореме о трех перпендикулярах SC ⊥ BD.

Прямая перпендикулярна и проходит через точку лежащую в плоскости Поскольку плоскость также перпендикулярна SC, прямая лежит в Что и требовалось доказать.

б) Проведем в △SOC высоту OK, то есть OK ⊥ SC. Тогда △BKD — сечение пирамиды плоскостью

Требуется найти SK :KC.

По доказанному в пункте а) имеем: BD ⊥ SC, BD ⊥ SO. Следовательно, BD ⊥ (SOC ). Тогда BD ⊥ OK.

Следовательно, площадь сечения равна

S = 1 ⋅BD ⋅OK
BKD 2

Так как AB = 1 и ABCD — квадрат, то √ -
BD = 2, √2
OC = -2-.

Тогда площадь сечения равна

-
√-2 1 √-
3 = 2 ⋅ 2⋅OK
2
OK = 3.

Перейдем в △SOC.

По теореме Пифагора для треугольника KOC :

2 2 2
KC =OC − OK
KC2 = 1− 4 = 1-
2 9 18
-1--
KC = 3√2.

Найдем через свойство высоты из вершины прямого угла:

OK2 = SK ⋅KC
4 1
9 = SK ⋅-√-
3√- 2
4-2-
SK = 3 .

Значит, искомое отношение равно

√-
SK :KC = 4-2-:-1√--= 8:1.
3 3 2

Ответ:

б) 8 :1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена