В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$все рёбра равны, на ребре $A{A}_1$отмечена точка $M.$ Известно, что $AM=2M{A}_1.$ Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $AB{B}_1{A}_1.$ а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1{B}_1$ пополам. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{39}.$

а) Рассмотрим точку которая является серединой ребра Докажем, что точка лежит в плоскости

Рассмотрим равносторонний треугольник Отрезок — медиана в равностороннем треугольнике, значит, он является высотой этого треугольника. Тогда

Так как призма правильная, она является прямой, то есть ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, откуда

Получили, что отрезок перпендикулярен двум пересекающимся прямым и лежащим в плоскости Следовательно,

Плоскость проходит через точку и перпендикулярна плоскости Поэтому перпендикуляр к плоскости проведенный через точку лежит в плоскости Таким перпендикуляром является прямая значит,

Таким образом, плоскость пересекает ребро в его середине, что и требовалось доказать.

б) В пункте а) доказали, что Так как отрезок лежит в плоскости то Значит, сечение призмы плоскостью — прямоугольный треугольник и по условию

По условию в призме все ребра равны. Пусть каждое ребро равно Тогда, так как — высота равностороннего треугольника,

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник Так как то

Так как – середина то

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем:

Получим уравнение:

Высота призмы равна ее боковому ребру. Тогда