В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN=3NS.$ а) Докажите, что прямые $MN,$ $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение $BL:LC.$

а) Прямые и пересекаются по условию, следовательно, они лежат в одной плоскости

Плоскости и пересекаются по прямой плоскости и пересекаются по прямой плоскости и пересекаются по прямой

Прямые и лежат в плоскости и не параллельны. Действительно, если бы они были параллельны, то была бы средней линией треугольника Но по условию точка не является серединой так как Следовательно, прямые и пересекаются в некоторой точке

Точка принадлежит одновременно плоскости и плоскости значит, лежит на линии их пересечения, то есть на прямой

Таким образом, все три прямые и проходят через точку

б) По теореме Менелая для треугольника и прямой

По теореме Менелая для треугольника и прямой