Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K.$ Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}.$а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC.$ б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA,$ считая от точки $S,$ если объём пирамиды равен $18\sqrt{3}?$

а) Проведём параллельно тогда Здесь — высота пирамиды, при этом так как — правильная, то — точка пересечения диагоналей основания Так как по условию то прямая проходящая через точку и перпендикулярная лежит в плоскости

Далее, плоскости и имеют общую точку Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая где — точки пересечения со сторонами и основания соответственно.

Так как перпендикулярна плоскости основания, то перпендикулярна Покажем, что перпендикулярна

• Из свойств квадрата — биссектриса угла
• Из свойств правильного треугольника высота является и медианой, то есть

Тогда — медиана и биссектриса в треугольнике а значит, является и высотой. Тогда то есть перпендикулярна плоскости Что и требовалось доказать.

б) Пусть — сторона правильного треугольника

Так как треугольник правильный, то его площадь может быть вычислена как

Следовательно,

Тогда высота может быть вычислена как

Заметим, что (так как ) с коэффициентом подобия и

Так как то следовательно, и Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

Заметим, что (так как ) с коэффициентом подобия и

Таким образом, площадь основания может быть вычислена как

Объем пирамиды равен:

Так как объем пирамиды равен то имеем

Таким образом, тогда