Задание 12 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

На рёбрах $BC,$ $A B$ и $A D$ правильного тетраэдра $A BC D$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $B L : L C = A M : MB = A N : N D = 1 : 2.$ а) Докажите, что плоскость $α,$ проходящая через точки $L,$ $M,$ $N,$ делит ребро $C D$ в отношении $2 : 1,$ считая от вершины $C .$ б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A BC D$ плоскостью $α,$ если $A B = 6.$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 7EE2FA

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 7EE2FA по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Так как AM :MB = AN :ND, то по обратной теореме о пропорциональных отрезках MN ∥BD.

Пусть плоскость сечения пересекает в точке

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Тогда рассмотрим плоскости (ABD ), (CBD ) и (LMN ). Они пересекаются по прямым MN, и LK. Так как MN ∥ BD, то линии пересечения плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

Отсюда LK ∥BD. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 6.

Так как MN ∥BD, то △AMN ∼ △ABD по двум углам.

Запишем отношение подобия:

MN--= AM--= 1
BD AB 3
MN = 1BD = 6 = 2
3 3

Так как LK ∥ BD, то △CLK ∼ △CBD по двум углам.

Запишем отношение подобия:

LK- CK- 2
BD = CD = 3
2 2⋅6
LK = 3BD = -3--= 4

Так как AN :ND = AM :MB = DK :KC = BL :LC = 1 :2, то имеем:

AM = AN = BL = KD = 2
CL = CK = MB = ND =4

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно ∘
∠MBL = ∠NDK =60 .

Получаем, что △MBL = △NKD по двум сторонам и углу между ними: MB = ND = 4, BL = KD = 2, ∘
∠MBL = ∠NDK = 60 .

Следовательно, ML =NK. Тогда так как MN ∥LK, MN ⁄= LK, то сечение MNKL тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями MN = 2 и LK = 4.

Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для △NKD :

NK2 = ND2 + KD2 − 2⋅ND ⋅KD ⋅cos∠NDK
1
NK2 = 16+ 4− 2⋅4⋅2⋅ 2
√ -
NK2 = 12 ⇒ NK = 2 3

Найдем площадь трапеции MNKL. Для этого проведем высоты и NT.

Так как высоты и перпендикулярны основаниям и LK, все углы четырёхугольника MNT R прямые. Значит, MNRT – прямоугольник, и его противоположные стороны равны:

ML = NK как боковые стороны равнобедренной трапеции, MR = NT как высоты трапеции, следовательно, прямоугольные треугольники LMR и KNT равны по гипотенузе и катету. Тогда равны и их вторые катеты: