Задание 38 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В прямоугольном параллелепипеде $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 62$ , $A D = 10$ , $A A_{1} = 16$ . На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_{1} E : E A = 5 : 3$ и $B_{1} F : FB = 5 : 11$ . Точка $T$ $-$ середина ребра $B_{1} C_{1}$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_{1}$ . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: C300DC

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ C300DC по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) 1) Параллельно перенесем

\triangle B_1FT

в плоскость

AA_1D_1D

по отрезку

B_1A_1

. 2) В результате чего образуется новый треугольник, в котором гипотенуза параллельна и равна

FT

. С другой стороны, она является средней линией

\triangle A_1ED_1

. 3) Следовательно,

FT \parallel ED_1

, тогда

D_1 \in (EFT)

, ч. т. д.

Схема к решению стереометрической задачи

б) 1) Получили, что сечение плоскостью

(EFT)

-- это четырёхугольник

EFTD_1

. Это трапеция, так как

FT \parallel ED_1

, а

EF \nparallel TD_1

2) По условию

B_1F=\dfrac{5}{16}BB_1=5

A_1E=\dfrac{5}{8}AA_1=10

. В трапеции

A_1B_1FE

опустим высоту

FK

, тогда в

\triangle FKE

по теореме Пифагора:

FE=\sqrt{FK^2+KE^2}=\sqrt{A_1B_1^2+B_1F^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+5^2}=\sqrt{97}.

3) В

\triangle C_1D_1T

по теореме Пифагора:

TD_1=\sqrt{TC_1^2+C_1D_1^2}=\sqrt{\left(\dfrac{AD}{2}\right)^2+AB^2}=\sqrt{5^2+(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{97}.

4) Получаем, что

EFTD_1

-- равнобедренная трапеция и

ED_1=2FT

(известно из а). Значит,

ED_1=2FT=2\sqrt{B_1F^2+B_1T^2}=2\sqrt{5^2+5^2}=10\sqrt{2}

. 5) Тогда

h_{EFTD_1}=\sqrt{EF^2-\left(\dfrac{ED_1-FT}{2}\right)^2}=\sqrt{(\sqrt{97})^2-\left(\dfrac{10\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{13}{\sqrt{2}}.

6) Получаем, что

S_{сеч}=\dfrac{FT+ED_1}{2}\cdot h_{EFTD_1}=\dfrac{5\sqrt{2}+10\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{13}{\sqrt{2}}=97,5

. Ответ: б)

97,5

Ответ: б)

97,5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена