Задание 20 из 66Тела и поверхности вращения

Линия №15 · Повышенный уровень

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания $-$ точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причём $B B_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а отрезок $A C_{1}$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $A B C_{1}$ прямой. б) Найдите объём цилиндра, если $A B = 7$ , $B B_{1} = 24$ , $B_{1} C_{1} = 10$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 13D60B

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 13D60B по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую

AC_1

. Пусть она пересекает основание цилиндра в точке

C

. Получаем, что

CC_1

- образующая, а

AC

пересекает ось цилиндра, то есть проходит через центр нижнего основания.

Схема к решению стереометрической задачи

Тогда

AC

- диаметр, а

\angle ABC = 90^\circ

как вписанный и опирающийся на диаметр.

CC_1 \perp ABC \Rightarrow CC_1 \perp AB

. Так как

CC_1 \perp AB

BC \perp AB

, то

AB \perp BCC_1

, тогда

AB \perp C_1B \Rightarrow \angle ABC_1 = 90^\circ

. Что и требовалось доказать. б) Так как

BB_1C_1C

- прямоугольник (

BB_1

CC_1

- образующие,

BB_1=CC_1

BB_1 \parallel CC_1

CC_1 \perp AB

), то

BC = B_1C_1 =10

. По теореме Пифагора в

\triangle ABC

AC = d = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2+10^2}=\sqrt{149}

CC_1 = BB_1=h=24

, тогда :

V_{\text{ц.}} = \pi r^2h= \frac{\pi d^2}{4}h= \frac{149\pi \cdot 24}{4}=149\pi \cdot 6 = 894 \pi

Ответ: б)

894 \pi

Ответ: б)

894 \pi

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID C84642 Тела и поверхности вращенияРазличные точки A, B C с вершиной S AB 60°. а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5. б) Найдите…FIPI ID 6B5C41 Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 416B0F Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID D7147A Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID E8FAA5 Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 77C190

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена